大数定律的机制与本质 (3-2)

＝lim ──＝3

n→∞ n²

概率模型

在抛硬币的问题中，设抛了n 次后，正面朝上的次数为 αₙ ，反面朝上的次数为 bₙ ，显然有 αₙ＋bₙ＝n . 作为示例，我们不妨假设（忽略取整）

n²

αₙ＝√─＋n³/²

4

n²

bₙ＝n – √─＋n³/²

4

n

显然αₙ＞─ ，

2

即正面朝上的次数是多于反面朝上的次数的；而且抛得越多， αₙ 与 bₙ 差距就越大，凭直觉似乎 αₙ 跟 bₙ 是不可能相等的。然而抛无穷次后，正面朝上的频率为

n²

─＋n³/²

αₙ √4

lim ──＝lim ────

n→∞ n n→∞ n

1 1

＝lim √─＋──

n→∞ 4 √n

1

＝─

2

正面朝上与反面朝上的频率相等了！为什么会这样呢？因为在

n²

─＋n³/²

αₙ＝√4 中，造成其偏离

n

─

2

的项是 n³/² ；而这一项在 n → ∞ 时比

n²

─ 低阶，

4

因此这两项相加并取极限时

n²

─

4

为主要部分，n³/² 只是一个“小尾巴”，因此取极限时分母部分只剩下

n²

─

4

的贡献，而 n³/² 这一偏差消失了。

下表展示了这一变化过程。我们看到，αₙ – bₙ 确实越来越大，但这并不妨碍

αₙ

─

n

最终趋于0.5

n an bn an-bn an/n

1000 531 469 62 0.53100000

2000 1044 956 88 0.52200000

4000 2062 1938 124 0.51550000

8000 4088 3912 176 0.51100000

16000 8126 7874 252 0.50787500

32000 16178 15822 356 0.50556250

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