数学联邦政治世界观
超小超大

大数定律的机制与本质 (3-2)

=lim ──=3

n→∞ n²

概率模型

在抛硬币的问题中,设抛了n 次后,正面朝上的次数为 αₙ ,反面朝上的次数为 bₙ ,显然有 αₙ+bₙ=n . 作为示例,我们不妨假设(忽略取整)

αₙ=√─+n³/²

4

bₙ=n – √─+n³/²

4

n

显然αₙ>─ ,

2

即正面朝上的次数是多于反面朝上的次数的;而且抛得越多, αₙ 与 bₙ 差距就越大,凭直觉似乎 αₙ 跟 bₙ 是不可能相等的。然而抛无穷次后,正面朝上的频率为

─+n³/²

αₙ √4

lim ──=lim ────

n→∞ n n→∞ n

1 1

=lim √─+──

n→∞ 4 √n

1

=─

2

正面朝上与反面朝上的频率相等了!为什么会这样呢?因为在

─+n³/²

αₙ=√4 中,造成其偏离

n

2

的项是 n³/² ;而这一项在 n → ∞ 时比

─ 低阶,

4

因此这两项相加并取极限时

4

为主要部分,n³/² 只是一个“小尾巴”,因此取极限时分母部分只剩下

4

的贡献,而 n³/² 这一偏差消失了。

下表展示了这一变化过程。我们看到,αₙ – bₙ 确实越来越大,但这并不妨碍

αₙ

n

最终趋于0.5

n an bn an-bn an/n

1000 531 469 62 0.53100000

2000 1044 956 88 0.52200000

4000 2062 1938 124 0.51550000

8000 4088 3912 176 0.51100000

16000 8126 7874 252 0.50787500

32000 16178 15822 356 0.50556250

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