数学 (2-1)

不可表达基数

对分划性质k→(k)²₂进行适当扩张定义的基数。

设对于任何划分f:[k]²→2，存在k的一驻子集X⊆k，满足|f"[x]²"|=1，则称k满足k→(驻子集)²₂。

若k＞ω且满足k→(驻集)²₂，则称k是不可表达基数。

注意到测度为1集必是驻集，驻集的基数必与原来集合的基数相等，故可测基数必是不可表达基数，不可表达基数必是弱紧基数。

Kunen证明了不可表达基数是π¹₂不可描述的。

Jensen和Solovay指出，若k是不可表达基数，则不存在k库巴雷树；在可构造公理下，k是不可表达基数，当且仅当不存在k库巴雷树。

若k是不可表达基数，则不存在k阿龙扎杨树。

爱尔特希基数

任给序数α，记满足分划性质k→(α₂)^(＜ω)的最小基数k为k(α)，称为爱尔特希基数。

爱尔特希基数是随α变化而变化的基数。

Erdös与Hajnal证明：k(α)＜k(α+1)，即爱尔特希基数是随α严格上升的；若α是极限序数，则k(α)是强不可达基数。

利用这个基数，可以很方便的定义拉姆齐基数：爱尔特希基数函数k(α)的不动点即是拉姆齐基数，即满足k(η)=η的η是拉姆齐基数。

延森基数

若每个大小为k的可数语言模型ℳ都有大小为k的初等真子集模型ℬ，则称无穷基数k为延森基数。

等价条件刻画：对于每个划分F:[k]^(＜ω)→k，都存在H⊆k，|H|=k，使[H]^(＜ω)在F下的像不是整个k集。

Erdös和Hajnal证明了，没有一个阿列夫数是延森基数；Rowbottom证明了最小的延森基数是弱不可达的或有共尾ω；而Keisler和Rowbottom证明，若V=L，则不存在延森基数；Kunen证明存在这么个模型：在其中每个延森基数都是拉姆齐基数。

∏ᵐ_n公式

指高阶语言中合式公式的一种范式，在高阶语言中，若一公式的前束范式的较高阶量词在较低阶量词之前，则称此范式为完全前束范式。

若完全前束范式的最前面量词是m+1阶全称量词（或存在量词），并且m+1阶的量词共有n层，则称此公式为∏ᵐ_n公式。

∏ᵐ_n不可描述基数

若对于任何仅含一个二阶自由变元X的∏ᵐ_n公式Φ(X)，当有α层结构〈V_α, ∈ | V_α, R〉满足Φ(R)时，即〈V_α, ∈ | V_α, R〉⊨ Φ(R)成立时，存在β＜α，使β层子结构也满足Φ(R)，即〈V_β, ∈ | V_β, R∩V_β〉⊨ Φ(R∩V_β)，则称基数α为∏ᵐ_n不可描述基数。

k是不可达基数，当且仅当k是∏¹₀不可描述基数，又当且仅当k是∑¹₁不可描述基数；k是弱紧基数，当且仅当k是∏¹₁不可描述基数；若k是可测基数，当且仅当k是∏²₁不可描述基数。

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