强大数定律与弱大数定律 (2-2)

lim P{. . .}＝1当然也就成立。

. . .

下面在于几个图象来更形象的表示弱大数定律与强大数定律的区别。

• 强大数定律： Aₙ 趋近于 μ

• 弱大数定律：不能保证 Aₙ 趋近于 μ ，但随着 n 的增大， Aₙ 趋近于 μ 的概率将增大。也就是说Aₙ 偏离 μ的次数将越来越少，但无法保证它不偏离 μ 。

大数定律的一般化定义

满足大数定律的随机变量序列除了可以趋近于定值以外，还可以趋近于另一随机变量

设有随机变量序列{Xₙ} 和随机变量 Y ，

(1) 称{Xₙ} 依概率收敛于 Y 当且仅当

∀ε＞0：lim P{ω∈Ω：|Xₙ(ω) – Y(ω)|＜ε}＝1 n→∞

(2) 称{Xₙ} 以概率 1 收敛于 Y 当且仅当

P{ω∈Ω：lim Xₙ(ω) – Y(ω)＝0}＝1

n→∞

若P{Y＝μ}＝1 ，则为最常见的情况。

P.S. 林德伯格-莱维中心极限定理

设{Xₙ} 各项独立同分布，且具有有限的数学期望 μ 和标准差 σ ， Aₙ 是它的前n项平均值。另设

Aₙ – μ

Yₙ＝───

σ

─

√n

则当n → ∞ 时， Yₙ的概率分布将无限接近标准正态分布 N(0，1²) 。用数学语言描述之

lim Fʏₙ(x)＝Φ(x)

n→∞

即

Aₙ – μ

lim P{── ≤ x}＝Φ(x)

n→∞ σ

─

√n

中心极限定理看似复杂，其实也很容易理解。实际上E[An]=μ，D[An]=σ²/√n。所以这一定理的本质就是——独立同分布且期望和方差分别存在的样本，其平均值服从正态分布。

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