强大数定律与弱大数定律 (2-1)

大数定律是现代概率理论中重要的理论，也是连接概率理论与统计理论的重要桥梁。数学中以“定律”命名的理论不多，通常与实际应用有紧密联系。

大数定律描述了这样一种现象：对于一个随机变量序列{Xₙ} （可以理解为无数个样本），它的前 n 项平均值

X₁＋X₂＋· · ·＋Xₙ

Aₙ＝───────

n

对于满足若干条件的{Xₙ}，当随机变量数量 n 非常大时，它们的平均值将极有可能趋于定值 μ

Aₙ → μ

这个定值μ 通常是 Xᵢ 数学期望。

按收敛方式不同，大数定律分为强大数定律和弱大数定律。

强大数定律

当随机变量序列的长度为无穷大时，它们的平均值必然趋于定值。我们称这样的随机变量序列符合强大数定律。用数学语言来说就是

P{lim Aₙ – μ＝0}＝1

n→∞

其中Aₙ 是随机变量序列的前 n 项平均值（见前面）。

弱大数定律

当随机变量的序列的长度为无穷大时，它们的平均值逼近定值的概率为将趋近于1。称这样的随机变量序列符合弱大数定律。用数学语言表述为

∀ε＞0：lim P{|Aₙ – μ|＜ε}＝1

n→∞

区别和联系

强大数定律是容易理解的，它类似于数列极限的定义。而弱大数定律相对来说不容易理解，而且乍一看似乎跟强大数定律没有什么区别。实际上，这里面涉及到对极限的理解。当我们说一个数列的极限为1时，只是说这个数列无限逼近于1，而不能保证数列等于1。例如数列

1

αₙ＝1 – ─，

n

它的极限为1，但他的每一项都不等于1。再如

1 nπ

bₙ＝1＋─ sin ─，

n 2

它的极限为1，也确实存在无穷多个等于1的项，但是我们找不到一个 N ，使得 bɴ 以后的每一项全部为1。

再回到弱大数定律，弱大数定律告诉我们，当随机变量的数量n 趋于无穷大时，它们的平均数 Aₙ 逼近定值 μ 的概率趋近于1，但不一定等于1。也就是说，当 n 非常大时， Aₙ 极有可能逼近于 μ ，但也不能保证 Aₙ必然逼近于 μ 。

而强大数定律就不一样了。强大数定律的概率P没有被包裹在极限符号里面，即不是

lim P{. . .}＝1

. . .

而是 P{. . .}＝1 ，也就是“Aₙ 必定趋近于 μ ”。

如果能理解上面的话，也就能理解如果一个随机变量序列符合强大数定律，那么他一定也符合弱大数定律。因为当P{. . .}＝1的时候，那么

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。