大数定律的机制与本质 (3-1)

注意：实际应用中大部分服从弱大数定律的随机变量序列也服从强大数定律，故本文所提“大数定律”均指强大数定律

今天想要讨论关于大数定律的另一个问题——大数定律告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，当变量个数趋于无穷时，它们的平均值将趋于定值，这个定值就是单个随机变量的期望。例如当我们抛一枚均匀的硬币无穷次时，正面朝上的频率将趋于50%. 这一性质很容易让人迷惑（包括我本人学概率论的时候也很迷惑）——既然随机变量之间是相互独立的，也就是每一次抛硬币的结果之间是不会互相“打照应”的，那么这些随机变量是如何做到在不互相打照应的情况下做到正面朝上的频率趋于50%的呢？我们抛1000次硬币，600次正面，400次反面，那么下一次抛硬币时反面的概率会更大吗？

其实，我们的问题的症结在于，当正面朝上与反面朝上的次数相差很大时，大数定律是否会对接下来的试验进行“调整”使其稳定在期望附近——如果不进行“调整”，我们眼睁睁看着正反面次数差距越来越大，似乎不太符合我们对大数定律的理解；而如果真的进行“调整”，显然就违背了每次试验相互独立这一条件。

理解这一问题的关键，就在于对大数定律本身的理解。我们很容易将大数定律简单地理解成“平均值收敛于期望”，却忽略了“变量个数趋于无穷”这一至关重要的条件。那么，变量个数到底要达到多少个才能成立“平均值收敛于期望”呢？答案是：

无论多少个也不能成立

因为定律中说的是“无穷”。个数再多，也不能称为“无穷”。无穷大在数学上是一个很特别的存在，也常常成为数学家的“拌脚石”。诸如芝诺悖论，希尔伯特旅馆悖论，所有自然数之和等于

1

–─ ，

12

等等这些著名悖论都在提醒我们不能用数的思维来理解无穷大。

回到前面的问题，这里涉及到无穷大的一个性质，那就是两个不同阶的无穷大相加，结果等于更高阶的那个无穷大。学过微积分的朋友应该不难理解这一点。为便于后面的叙述，我们先回顾一下微积分中关于无穷大的知识。

定义 设数列 {αₙ} , {bₙ} 满足

αₙ

lim ──＝∞，

n→∞ bₙ

则称 {αₙ} 是比 {bₙ} 高阶的无穷大。

例如n² 比 n 高阶， n³＋4n＋5n＋2 比 n²＋2n＋1 高阶， n 比 ln n 高阶。

定理 设 {αₙ} 比 {bₙ} 高阶，则

αₙ＋bₙ αₙ

lim ───＝lim ───

n→∞ cₙ n→∞ cₙ

（假设极限存在或为 ∞ 。证明略）

例如

1

─

3n²＋2ln n＋3n sin n

lim ────────── →↓

n→∞ n²

3n²

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