数学多元论（三） (7-1)

也论形式主义与多宇宙观

一、形式主义不是本体论中立的

在《集合论多宇宙观与形式主义》中，裘江杰承接科里（HaskellCurry）的形式主义立场，认为形式主义应该是本体论中立的，它不在形而上学上做任何假设，并且形式主义并不拘泥于特定的形式化系统。

特别地，他们认为形式主义不应该受到希尔伯特所谓有穷数学的掣肘。

但这种形式主义仍然要求形式 系统满足一定的可接受条件，其中包括一致性，却不要求一个一致性证明。

此外，裘江杰和科里都认为关于这些形式系统的“元数学”研究是重要的。

在本节中，笔者首先试图论证任何有意义的形式主义都无法做到真正的本体论中立。

同时，笔者也试图解释，希尔伯特关于形式主义“元数学”必须是有穷数学的限制性立场为何不能任意放宽。

在后人的解释中，一般认为希尔伯特的形式主义不是本体论中立的。

他将数学分割为可靠的有穷数学（finitary mathematics）以及其一致性有待证明的经典数学，后者包括康托尔发明的集合论。

的确可以说，希尔伯特本人关于包括集合论在内的经典数学的本体论问题试图展现一种中立的立场，或者说试图悬置抽象实体或无穷集合是否存在的问题。

同时，希尔伯特捍卫数学工作者在“康托尔的乐园”中自由探索的价值，其手段就是将这部分数学形式化，并在可靠的有穷数学中证明这个形式化了的公理系统是一致的。

这就是所谓的希尔伯特纲领（Hilbert’sProgram）。

我们知道，希尔伯特纲领因为哥德尔不完 全性定理而注定无法在其原本意义上实现，但是希尔伯特形式主义乃至后哥德尔定理的希尔伯特形式主义变种在本体论上对数学进行区分的做法是一以贯之的。

希尔伯特式的形式主义可以悬置那部分需要通过形式化方案来捍卫的数学的本体论问题，但要求对这部分数学的形式化给出一致性证明。

这一立场意味着他们必须认为其所期望的一致性证明是可靠的，或在某种意义上是真的。

无论这种一致性证明是基于有穷数学或其他构造主义数学的证明，他们必须或假设或尝试论证这部分数学是有意义的， 它们对应着某种可靠的信念或具体的客观概念。

例如，竹内外史在《证明论》中为ε0下归纳原理所作的辩护。

他定义了序数的可及性（accessible）概念来描述人们可以“切实地看到”或“构造性地证明”可及序数下的每个严格下降链都是有穷的。

他试图 论证，可及性在序数加法、乘法甚至幂运算下保持不变，从而证明ε0下的序数都是可及的。

竹内外史宣称基于可及序数下的归纳原理相比完全的集合论是有穷主义的，相比直觉主义中抽象的“构造”“证明” 概念又更加具体。

因而，这是所谓“希尔伯特—根岑有穷主义立场”可以接受的数学命题。

再如，哥德尔对他的T系统的辩护。

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