数学多元论（三） (7-2)

在《论一种迄今未用过的有穷主义观点的扩张》中，哥德尔描述了一个扩张了有穷主义限制的系统T，并证明了直觉主义算术相对于该系统的一致性[4]。

哥德尔试图让读者相信，T系统基于的“自然数上的有限类型的可计算函数”概念是一个相比ε0更具体的、“意义清晰 的”概念。

读者可以在《哥德尔在构造主义数学方面的工作》中找到简要的介绍[5]。

在希尔伯特形式主义及其变种中，数学被划分为可靠的部分与“理想”的部分。

这种立场的支持者有义务澄清划分的具体位置，并为这种划分辩护。

对划分的辩护可能暗含在对可靠部分可靠性的辩护中。

这种“区别对待”本身揭示了形式主义者对关于“理想”数学的本体论地位的看法，它显然不是中立的。

前希尔伯特的形式主义者或许可以声称他们对所有数学一视同仁。

一些前希尔伯特的（往往是非自觉的）形式主义立场的确没有对数学做类似的划分，它们断言所有数学都是无意义的。

例如游戏形式主义，认为数学工作者只是根据给定的游戏规则进行操作。

但即使极端的游戏形式主义者也不得不承 认，关于他们所玩的游戏规则是否和谐的问题是有意义的。

人们显然不会认为，一个已知走某步就定胜 负（如证明出矛盾从而可以证明所有命题）的游戏是值得玩的。

而在希尔伯特之后，人们逐渐厘清了那 些数学游戏的规则，形成了明确定义的数学公理系统，并借助于哥德尔编码等技巧，将关于游戏规则的问题明确地翻译成了对应的算术问题。

正如人们很难拒绝承认图灵机可计算是对能行可计算概念的正确刻画。

一旦这样的工具出现在眼前，人们就很难再拒绝承认这些翻译的正确性，这些关于游戏规则的问题就是数学问题，而且这些数学问题是有意义的。

因此，希尔伯特式的形式主义对数学基于本体论地位的划分对一般的形式主义而言也是难以避免的。

或许，形式主义者可以声称所谓的本体论中立仅仅是指“理想元”部分的本体论中立。

例如，作为哥德尔定理之后的形式主义者，科里不要求对公理系统的一致性证明。

因此，也不需要承认一个用以证明 一致性的具有更高本体论地位的“元数学”，尽管他仍然认为一致性是形式系统重要的属性。

希尔伯特所强调的正是一致性标准。

这样做的原因大概是他……在寻找一个先天的合法性证明。

但是，且不论对物理来说，一个先天的合法性证明的问题是不相关的，我坚持认为一个一致性证明既不是可接受性的必要条件也不是充分条件。

它显然不是充分的。

至于必要性，只要没有不一致性被认识到，一个一致性证明尽管带给我们关于系统的知识，但并不改变它的有用性。

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