数学多元论（二） (6-1)

四 坍塌论证

本节将论证相对多元论可以坍塌到极端多元论， 我们称其为坍塌论证。

③ 让我们假设相对多元论正确， 即存在着绝对不可判定的命题， 比如CH和¬ CH的真值是不确定的， 因此存在ZFC∪ {CH} 与ZFC∪ {¬ CH} 刻画的宇宙VA 和VB 。

根据相对多元论的定义， 要表述VA 和VB 具有相同的本体 论地位， 我们必须固定作为背景的集合宇宙V， 即假设刻画V的集合论ZFC是一致的。

而如果ZFC 一致， 那么根据哥德尔不完全性定理， ZFC∪ {CONZFC } 和ZFC∪ {¬ CONZFC } 都是一致的 （其中 CONZFC 是通过哥德尔编码对 ZFC 一致性的形式化， ¬ CONZFC 表示 ZFC 是不一致的）。

如果 ZFC∪ {CONZFC } 和 ZFC∪ {¬ CONZFC } 都是一致的， 那么 （根据相对多元论） 它们都刻画了确定的柏拉图世界， 这些世界作为ZFC∪ {CONZFC } 和 ZFC∪ {¬ CONZFC } 的模型， 使得句子 “CONZFC ” 和 “¬ CONZFC ” 同时为真。

而如果句子 “¬ CONZFC ” 为真， 那么ZFC 不一致。 这与上述假设 （即ZFC 是一致的） 相矛盾。

因此， 相对多元论本身 “不一致”。

也就是说， 如果相对多元论正确， 那么ZFC将会同时一致与不一致： ZFC一致， 是由相对多元论的定义要求的， 我们必须固定作为背景的集合论的一致性， 否则无法表述多宇宙观； ZFC不一致， 是由相对多元论和哥德尔定理共同导致的。

因为哥德尔定理不容置疑， 根据归谬原则， 我们似乎只能 得出相对多元论是错误的。

为了避免这一致命性的挑战， 在笔者看来， 相对多元论者只能选择如下两种方案：

（1） 否认ZFC∪ {¬ CONZFC } 的一致性， 根据双重否定规则， 则ZFC∪ {CONZFC } 一致；

（2） 承认ZFC的一致性是不确定的。

① 方案 （1） 的问题：

第一， 否定ZFC∪ {¬ CONZFC } 一致这种做法是任意的、 无原则的；

第二， 因为只有在确保复杂度为∏0 1-的算术句子是可靠s ② 的， 我们才可以证明， 如果ZFC一致， ZFC∪ {CONZFC } 是一致的。

（参见Smith） 但要确保∏0 1-算术句子 （如 “CONZFC ”） 的可靠性s ， 多元论者只能从一阶逻辑上升到二阶逻辑。

现在的问题是， 如果多元论者可以通过二阶逻辑保证某个算术句子的可靠性s ， 为什么不直接选择二阶逻辑来确保CH的确定性？

根据准范畴性定理 （Quasi-Categoricity Theorem， 即对任何一个二阶理论T的两个模型M1 和M2 ， 或者M1 和M2 是同构的， 或者一个同构于 另一个的前段）， 所有满足CH的模型都是同构的， 所以CH的真值是确定的。

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