数学多元论（二） (6-5)

正如数学家只要知道群的公理， 就知道群代表什么。

对代数性一元论者而言， 他 们只需要知道这些公理， 就知道这些数学句子的真， 因此可靠性断定的解释对一元论者来说是平凡的 （trivial）。

值得注意的是， 菲尔德也承认， 如果一元论者可以解释如下可靠性断定@， 那么他们就成 功地回应了贝纳塞拉夫的挑战。

可靠性断定@： 如果数学家A相信公理p， 那么p是真的。

因此贝纳塞拉夫问题 （无论是贝纳塞拉夫原初的表述还是菲尔德改善的表述） 对所有柏拉图主 义者都将不再构成挑战， 他们可以平凡地解释任何数学信念的可靠性。

但是这种平凡性也取消了多元 论之于一元论， 或多宇宙论之于单宇宙论的任何优势， 它们不仅不能在认识论上优于后者， 而且很可能在数学结论上也会导致相同的结果。

当然， 要论证代数性一元论和代数性多元论在数学结论上没有差异， 是个复杂的问题， 我们不在本文考察这个问题。

这里需要注意的是， 在可靠性断定@中的公理很可能是无穷的， 而有些含有无穷公理的系统 （比 如皮亚诺算数系统） 原则上如果不上升到二阶逻辑， 就很难还原为有穷的公理系统。

而在认知上有穷的我们很可能无法知道无穷多的公理。

在这种意义上， 虽然代数性的多元论者和一元论者不再面临贝纳塞拉夫问题， 他们可能面临新的认识论挑战。

当然， 如果大家都选择有穷公理化的路径， 这个方法很可能对多元论是不利的。

比如像我们前一节论述的， 在二阶的ZFC系统中， 很多独立性问题会得到解决， 而这对多元论是不利的。

但要详细考察这个问题需要讨论更多的问题， 限于篇幅， 我们将停在这里。

结语

本文考察了两种数学多元论对贝纳塞拉夫问题的解决。

我们观察到极端多元论是个不稳定的立 场， 其一致性R 概念不能确定地使数学信念p与内容p相对应， 因此可靠性断定∗是错误的。

相对多元论诉诸一致性p ， 虽然表面上可以防止一致性R 概念无穷后退的情况， 但是最终会滑落到一致性R 。

多元论者可以选择代数性多元论， 放弃传统集合论关于数学本体的研究， 但是这个选择也相应地放弃了她在认识论上的优势， 因为一元论者也可以选择代数性数学来避免贝纳塞拉夫问题。

如果撇开将代数性数学扩展到算术、 集合论这一有争议且数学上复杂的情况， 我们的结论是， 多元论的实在论不像其主张者所认为的那样可以解决贝纳塞拉夫问题。

贝纳塞拉夫问题依然是所有数学实在论者无法逾越 的难题。

就这一结论， 我们有必要简单比较一下本文的论证和克拉克-多恩最近在认识论上对数学多元论 的攻讦。

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