数学多元论（二） (6-4)

同样， M2 研究的系统是ZF+¬ CH， 他 显然不想研究 “唯一的集合论宇宙”， 或者尝试理解我们关于集合的直观概念， 他只希望探索被 ZF +¬ CH所刻画的分层结构。

所以对M1而言， 她意向中的结构是那些被ZF+CH所刻画的结 构； 对M2而言， 他意向中的结构是那些被ZF+¬ CH刻画的结构。

所以在M1口中， ZF+CH是 真的； 在M2口中， ZF+¬ CH是真的。

我们得到数学多元论， 是因为我们有两个人在做着关于不同公理系统的游戏。

（Balaguer，2016， p.392）

科尔纳在考察汉米肯斯的上述主张时指出， 使用代数性数学表述多元论的一个主要问题是与当今数学实践中大家默认的观点 （default view） 不相符。

根据默认的观点， 在集合论实践中， 数学家 “在研究集合”， 因此 “仅仅存在模型论不足以削弱大家默认的观点”。

（参见Koellner，2013， p.13）

同理， 使用公理-系统-差异这种模型， 可能与数学家默认的观点不相符。

但是让我们暂时撇开这个社会学问题， 也许集合论和算术原则上都可以还原为代数性数学， 这样就可能存在一种代数解释下的 数学多元论。

根据这种多元论， 数学家研究的仅仅是那些为特殊公理所刻画的数学结构， 而非意向中 的数学对象。

我们将这种多元论表述如下： 代数性多元论： 对任意的结构S1 与S2 ， 它们分别由公理A与B所刻画。

如果A与B都一致， 那么S1 与S2 都是合法的数学结构。

根据代数性多元论， 集合论不再是对集合本体 （ontic） 的研究， 即不再是对数学对象指称问题 的研究， 因为本体和指称对于代数性数学是陌生的概念。

因此追问一个集合是否存在是没有意义的， “指称的问题由此消解了： 我们甚至不能作出合适的断定用来评价指称” （Barton， p.28）。

但如果数学研究的不再是指称问题， 且一元论者或单宇宙论者也选择这种数学基础， 那么在何种意义上贝纳塞拉夫问题对他们构成挑战呢？

让我们首先从贝纳塞拉夫原初的表述开始， 根据这个表述， 柏拉图主义者需要解释我们关于数学 对象的知识是如何可能的。

这个表述预设了指称概念。

现在让我们假设单宇宙论者也选择代数性数 学， 将集合论处理为一种代数， 因为指称问题由此被取消， 对他们而言， 贝纳塞拉夫问题也将会自行消失。

其次， 让我们考察代数性的一元论者如何面对菲尔德表述的贝纳塞拉夫问题。

根据第一节的论 述， 一元论者需要解释如下可靠性断定： 可靠性断定： 如果数学家A相信p， 那么p是真的。

现在假设一元论者也采取代数性数学， 命题p不指称任何具体的 （柏拉图） 世界， 它的真仅仅由某些公理所刻画。

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