数学多元论（二） (6-3)

在这一节， 我们考察多元论者可能选择的另一条出路———代数性多元论 （algebraic pluralism）。

我们将论证代数性多元论虽然可以防止无穷后退， 固定多元论的立场， 但代价是牺牲了多元论相对于传统一元论在认识论上的优势。

按照夏皮罗 （S. Shapiro） 的区分， 当代的数学基本上可以区分为代数性数学 （algebraic mathematics） 和非代数性数学 （non-algebraic mathematics）。

（参见 Shapiro） 代数性数学 （如群、 环、 域和拓扑） 的主要特征是： 一旦一个数学结构被某个公理刻画， 就不存在这个结构是否标准， 或是 否为数学家意向的事实。

正如 “没有人会担心乘法交换公理独立于群公理。

这是因为根据所有的说 法， 群理论并不是关于同构意义下唯一的 （unique up to isomorphism） 某个单一的结构的理论； 相反， 群是关于一类结构的理论” （同上，pp.40-41）， 同理， 代数性数学研究的不是同构意义下唯一的某 个单一结构的理论， 而是任意一个由某个公理系统规定的结构。

和代数性数学不同， 非代数性数学研究的主要对象是某个具体的数学结构 （或者那些同构的类型）， 典型的非代数性数学包括算术、 集合论和实分析等数学分支。

在这些数学分支中， 我们经常听到数学家描述他们意向中的数学对象是如何的， 它们是通过哪些同构的模型得到刻画的。

在这部分数学中， “自然数或者集合是什么” 是十分重要的问题。

现在假设这个区分成立， 多元论者可以使用代数性数学说明ZFC+CH和ZFC+¬ CH之间的差异， 这样他们就不需要诉诸模型论或者一致性概念， 上述无穷倒退的反驳也将不复存在。

有趣的是， 认为ZFC+CH和ZFC+¬ CH之间的差异类似于代数性数学之间的差异， 似乎也能在汉米肯斯和巴拉数学多元论与贝纳塞拉夫问题 87 格尔那里找到依据。

比如汉米肯斯认为， 集合论研究与群、 环、 域等抽象代数的研究一样①， 它们都研究某些由公理刻画的结构： 集合论研究的基础对象已经变成了集合论的模型， 集合论学家敏捷地从一个模型转移到另一个模型。

正如群论学家研究的是群， 环论学家研究的是环， 拓扑学家研究拓扑空间， 集合论学家 研究的是集合论的模型。

（Hamkins， p.418） 同样， 巴拉格尔认为多元论者可以选择公理-系统-差异的情况 （the-different-axiom-systems situation） 来说明 ZF +CH 和 ZF +¬ CH 的差异：

两位数学家M1和M2， 正在 “做着关于集合论某些公理系统的游戏”。

M1研究的是系统ZF+ CH， 她显然不想尝试研究 “唯一的集合论宇宙”， 或者尝试理解我们关于集合的直观概念， 她只希望探索被ZF+CH所刻画的分层结构 （hierarchies）。

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