数学多元论（二） (6-2)

但是这似乎直接论证了多宇宙论方案即使不是错误的， 至少也是多余的， 因为大多数独立性问题都会在二阶逻辑中得到解决。

因此选择 （1） 的多元论者面临着如下两难困境： 一方面， 选择ZFC∪ {CONZFC } 一致这种做法 是任意的； 另一方面， 要避免任意性， 她似乎需要承诺二阶理论的 （准） 范畴性定理， 但选择后者 意味着对多宇宙论方案的抛弃。

方案 （2） 也存在两个问题。 第一， 承认ZFC的一致性不确定这种做法会违背哥德尔定理。

第二， 要挽救哥德尔定理， 相对多元论者可能的辩护如下： “ZFC为真 （或一致）” 无非表达了所有的 ZFC 定理是真的 （或一致的）。

而要保证全部ZFC的定理是真的， 相当于说ZFC所有的公理是真的， 且推理规则是保真的。 让我们将ZFC与其反映原理 （reflection principle， 即句子 “ZFC 的所有定理是 真的”） 构成的理论称作ZFCRP。

上述反映原理中的真谓词既可以是经典逻辑中的， 也可以是非经典逻辑中的。

使用经典逻辑的真谓词， 我们当然可以在ZFCRP中证明CONZFC ， 但是ZFCRP本身的一致性问题会重复出现， 上述反驳依然适用。

现在假设ZFCRP的真谓词是非经典意义上的， 根据对非经典真谓词的公理化， ZFC的不一致性是不确定的。

（参见Kripke； Field， 1994； Halbach）

因为ZFC 的一致 性具有不确定性， 要确保ZFC的一致性， 多元论者可以诉诸另一个数学系统T1 的一致性。

而要保证 T1 的一致性， 她只需诉诸T2 的一致性， 如此以至无穷。

但是通过这种方法， 相对多元论会走到极端 多元论。

综上所述， 通过走向极端多元论， 相对多元论可以避免其立场的不一致性。

但与此同时， 一致性P 会坍塌到一致性R 。

因此， 如果我们上一节的论证正确， 诉诸一致性R 会导致无穷后退， 那么诉诸 一致性P 也会陷入无穷后退。

如果一致性P 也不稳定， 那么贝纳塞拉夫问题依然没有得到有效的解决。

现在， 相对主义者可能反驳说： “你应该区分单个命题的一致性P 和一个系统 （如ZFC） 的一致性P ， 我承认我对ZFC的一致性P 概念会陷入一致性R ， 但是这并不适用于单个命题， 比如我可以一 致P 地相信1+1=2， 根据多元论， 这足以保证1+1=2对应于一个客观事实。”

在这个反驳中， 我们 注意到相对主义者使用了算子 “根据多元论”。

但是如果上述坍塌论证正确， 诉诸这个算子无非是诉 诸 “根据相对多元论”， 因此它等同于 “根据极端多元论”。

因此， 这个反驳的成立预设了某个数学 理论的一致性R ， 根据第三节的论证， 这个概念是不稳定的。

五 代数性多元论

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