数学多元论（一） (6-3)

这种主张似乎十分符合直觉， 也符合集合论最近的发展， 特别是与独立性问题的出现非常吻合。

但另一个想法似乎也十分直观： 作为抽象的数学宇宙， 无论它们的数量如何， 我们关于它们的信念总需要解释， 而 “一致性” 似乎太过便宜。

当然仅仅依赖直觉并不能推进 哲学讨论， 本文将论证多元论的 “一致性” 概念并不稳定 （unstable）， 可靠性断定∗对于解决贝纳塞拉夫问题无济于事。

本文第二节将区分两种不同的多元论———极端多元论与相对多元论， 并由此区分两种一致性。

第三节将排除极端多元论对贝纳塞拉夫问题的解决。

第四节通过构造一个坍塌论证， 论证相对多元论只能通过坍塌到极端多元论才是 “一致的”， 因此排除相对多元论对贝纳塞拉夫问题的解决。

第五节将考察多宇宙论可能的一条出路———代数性多元论， 指出采取代数性多元论的代价是放弃多元论相对于一元论的认识论优势。

二 两种数学多元论

前文已指出， 数学多元论者主张任何一致的数学理论都刻画了本体论上具有相同地位的柏拉图世界。

举例来说， 多元论者认为， 如果理论A与理论B都刻画了我们意向中的集合， 且它们都与加选择公理的策梅洛-弗兰克集合论 （Zermelo-Fraenkel Set Theory +Axiom of Choice， 以下简称 “ZFC”） 一致， 那么ZFC+A和ZFC+B都刻画了现实存在的柏拉图世界。

但根据科尔纳 （P.Koellner） 的观察， 这种说法还相当粗糙， 多元论者若要表述ZFC+A与ZFC+B都存在且具有相同的本体论地位， 她只有两种选择： 要么背景集合或集合论是不确定的， 要么背景集合或者背景集合论是确定的。 （参 见Koellner， 2013）

根据这两种表述， 科尔纳区分了两种多元论： 极端多元论 （Radical Pluralism）： 不存在一个确定的背景集合 V， 相对于V， 存在多个不同的集合论宇宙。

相对多元论（Relative Pluralism）： 存在一个确定的背景集合V， 相对于V， 存在多个不同的集合论宇宙。

① 在科尔纳看来， “为了避免平凡性 （triviality）， 我们必须能够证明我们的理论是一致的” （同上， p. 5）。

而上升到元理论， 是表述对象理论一致性、 避免平凡性的唯一可能。

这即是说， 要证明某个对象理论T的一致性， 我们必须诉诸背景理论T∗的一致性， 无论后者是否确定。

根据一阶理论的完全性， 科尔纳的区分自然地蕴涵两种一致性的区分： 极端一致性 （radical consistency， 以下简称 “一致性R ”）： 对任何一个数学理论T， T的一致性是不确定的。

换言之， T是一致的， 是因为T∗⊇T是一致的。

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