数学（二） (2-1)

基数

基数是描述集合大小的数，自然数的基数就是它本身，无穷序数的基数对应阿列夫数。

[ω, ω₁)区间内的序数的基数都是ℵ₀，ω₁={On(α)∧α＜ω}。

ω₁是一序数，它是最小的也是第一个不可数序数，严格强于区间[ω，ω₁)中的所有序数。

ω₁是所有可数序数的上确界，是所有可数序数永远无法抵达的极限。

对于任一α与β，如果α＜β，则ω_α＜ω_β，而这会得到一个序数的线序性关系，直接得到基数的线序性关系。

此时，序数按从小到大的关系排列：ω, ω₁, ……；根据这个序列可以得到ℵ₀, ℵ₁, ……的基数序列。

根据GCH，我们有ℵ_α+1 = 2^ℵ_α；而GCH如果不成立，则ℵ_α+1 与2^ℵ_α之间的关系无法确定。

序数

后继定义：x⁺=x⋃{x}

自然数定义：1、0是自然数；2、若n是自然数，则n⁺也是自然数；所有自然数都是1和2得到的。

自然数有无穷多个，但是我们可以规定一个ω，令它为无论所有自然数进行任何集论运算都无法抵达的极限。

ω是所有自然数的上确界，但是我们无法通过自然数公理得到ω。

因此，我们需要对其进行定义：所有自然数的集合是ω，它的势是ℵ₀。

对于ω，我们有：0∈ω∧∀y∈ω（y⁺∈ω）和∀x∈ω（x=0∨∃y∈ω(x=y⁺)）

根据上述公式，我们知道ω对后继是封闭的，因此我们说ω是一归纳集合；并且根据公式可知，ω是最小的归纳集合。

这样，对ω的定义就是说存在一个由自然数构成的集合ω是归纳的，且对于一切S，如果S是归纳的，那么ω⊂S；若(T⊂ω)∧(T是归纳的)，则T=ω；ω是一个传递集合，传递的定义：∀x∀y(x∈y ∧ y∈s→x∈s)。

序数的定义：1、0是序数；2、若a是序数，那a⁺也是序数；3、若s是序数一集合，则⋃s是序数；4、任一序数都是1~3得到的。

根据⋃s⊂s可知，⋃ω⊂ω，另外对于任一x，我们有x∈ω→x∈x⁺ ∧ x⁺∈ω→x∈⋃ω，所以ω⊂⋃ω。

所以ω是序数。

利用∀x,m∈ω，n＜m，n=m，m＜n和{x|x∈s ∧ ∀y(0∈y∧∀z(z∈y→z⁺∈y)→x∈y)}，我们可以知道n是自然数，ω+n是序数。

{ω+n|n∈ω}是一集合，令F={〈n, ω+n〉| n∈ω}，验证出F是类函数，并且有ran(F|ω)={ω+n, n∈ω}，由替换原则可知，这是一类集合。

并且它的元素都是序数，故可知ω+ω是序数。

我们可以将其自然推广到ω+ω+1，ω+ω+2，ω+ω+3，……甚至是ω+ω+ω；并且令ω+ω=ω*2，……；可得到对于任一n∈ω，ω*n，并且令ω*ω=⋃{ω*n|n∈ω}。

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