数学（一） (6-1)

阶对阶基数(公理|3丨0)

基数λ是阶到阶的，当且仅当满足一下性质：

|3 存在非平凡初等嵌入，j:V_λ→V_λ

|2 存在非平凡初等嵌入j:V→M，满足V_λ⊂M且λ是最小的＞crit(j)固定点，j(λ)=λ

|1 存在非平凡初等嵌入j:V_(λ+1)→V_(λ+1)

I0 存在非平凡初等嵌入j:L_(V_(λ+1))→L_(V_(λ+1))且crit(j)＜λ

阶到阶中的阶是指冯·诺依曼层谱的阶。

0#

0#可以被理解为一个实数，它编码了构造非平凡初等嵌入 j：L→L 的信息，因此，0♯存在也可以被理解为一个大基数性质。

所以，覆盖引理可以理解为：如果不存在大基数，那么 L 就与 V 很接近。

一个内模型满足一定形式的覆盖性质可以被理解为它在某种意义上是不具有某些更强大基数性质的极大的模型，这种内模型往往通过取一系列内模型的极限来获得并被称作核心模型 （core model）。

覆盖性质作为一种反大基数原则可以用来证明某些命题与某个大基数性质是等一致的，从而可以将更多独立性命题的证明论强度嵌入大基数序列的线性结构，强化大基数层谱作为ZFC典范扩张的地位。

能够构造包含某种大基数的满足覆盖性质的内模型相当于为该大基数假设的正当性提供了很强的证据。

Chang氏模型C

C.ang仿照Gödel的可构造模型L的定义方式，利用可数无穷长语句L_(ω₁,ω₁)定义了ω₁-可构造模型。

C是ZF的传递类模型，在可数序列下封闭（C的可数子集依然是C的元素）；且C具有ω-绝对性，即如果M是一个传递类模型且M在可数序列下封闭，则(C)ᴹ=C。

L的许多性质可以推广到C上。

C不一定满足选择公理，然而C满足选择公理是协调的。

巨大基数

巨大基数：随着初等嵌入的频繁使用，定义出了越来越多的大基数，我们逐渐走入了不协调的边缘。

设n∈ω，k称为n-巨大基数等价于存在初等嵌入j:V→M，以k为最小的被移动序数是的ᵏM⊆M，k是巨大的等价于k是1-巨大的。

显然，若k是0-巨大的，则k是可测的。

k是n-巨大的等价于在某个P(λ)上存在k-完全正规超滤U和基数序列k=λ₀＜……＜λ_n=λ，使得每个i＜n，|X⊆λ|X∩λ_(i+1)=λ_i|∈U。

若k是巨大的，则存在k上的正规超滤使得当〈M_α| α＜k〉为自然序列时，存在Y∈U，使得α, β∈Y推出存在以α为最小被移动序数的初等嵌入M_α→M_β。

若j:V→M为初等嵌入，k为其最小的被移动序数，则P(k_ω)∈M；因此我们无法定义K_ω巨大基数。

脱殊集合

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