数学（一） (6-4)

如果对于f:k→k'，存在j':V→M'使得crit(j)=k且V^j(f))(x)⊆M'，其中M'是传递的，则称k为谢拉赫基数。

超紧基数

M^λ⊆M，则称k为λ超紧基数；如果对于任意λ≥k，k为λ超紧基数，则称k为超紧基数。

超强基数

如果V_j(k)⊆M，则称k为超强基数

λ强基数

如果V_λ⊆M，则称k为λ强基数

可测基数

k是不可数基数，S上的滤子F是k完全的，当对每个基数λ＜k。

弱对所有α＜λ有X_α∈F，则∩_(α＜λ)X_α∈F。

一个不可数基数k被称为可测基数，如果k上存在一个非主k完全的超滤子。

可测基数的性质：每个可测基数都是强不可达的；k是可测基数，若T是高度为k的树，并且每个结点有小于k个后继，则T有一长度为k的分支；k是可测基数，则[k]²的每个划分有一个基数为k的齐次集。

滤子

特殊集合族，设S是非空集合，S上的滤子是由S的子集所组成的集族ℬ。

满足一下条件：S∈ℬ且∅∉ℬ；若X∈ℬ和Y∈ℬ，则X∩Y∈ℬ；若X∈ℬ且X⊆Y⊆S，则Y∈ℬ。

令A是S上的一个滤子，ℬ={X⊆S|X⊇A}，则ℬ是S上的一个滤子，并称其为S上的由A生成的主滤子。

正则基数

如果一正则基数，既是极限基数又是正则基数的不可数基数（不与自然数等势的基数就是不可数基数），那么就称它为弱不可达基数。

若ℵ_α为弱不可达基数，则cf(ℵ_α)=ℵ_α，且α是极限序数（非0且不是后继序数的序数），因为cf(ℵ_α)<α，ℵ_α≥α，所以ℵ_α=α。

极限基数

不可数基数，在超限基数的正则序列ℵ₁、ℵ₂、……、ℵ_α、……中，若序数α是极限序数，则ℵ_α就是极限基数。

另外每一个超限基数都是一极限序数。

强极限基数

特殊的极限基数，如果无穷基数ℵ_α，对所有β＜α都有2^β＜ℵ_α，则称ℵ_α是强极限基数。

强极限基数就是极限基数，但极限基数不是强极限基数；在GCH下，强极限基数与极限基数没什么区别。

在ZFC公理中，无法证明存在不可达基数，不可达基数的不可达性是由ℵ₀的“不可能从比它小的基数出发，使用集论运算达到”平凡推广而来。

强极限基数的性质：k是强极限基数，则对任何λ，ν＜k有λ^v＜k；k是强极限基数，则2^k=k^cf(k)；k是正则的强极限基数，则k^(＜k)=k，这里k^(＜k)=lim k^α（α→k）；k是奇异的强极限基数，则2^(＜k)=k，且k^(＜k)=k^cf(k)

共尾度

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