数学联邦政治世界观
超小超大

数学(一) (6-4)

如果对于f:k→k',存在j':V→M'使得crit(j)=k且V^j(f))(x)⊆M',其中M'是传递的,则称k为谢拉赫基数。

超紧基数

M^λ⊆M,则称k为λ超紧基数;如果对于任意λ≥k,k为λ超紧基数,则称k为超紧基数。

超强基数

如果V_j(k)⊆M,则称k为超强基数

λ强基数

如果V_λ⊆M,则称k为λ强基数

可测基数

k是不可数基数,S上的滤子F是k完全的,当对每个基数λ<k。

弱对所有α<λ有X_α∈F,则∩_(α<λ)X_α∈F。

一个不可数基数k被称为可测基数,如果k上存在一个非主k完全的超滤子。

可测基数的性质:每个可测基数都是强不可达的;k是可测基数,若T是高度为k的树,并且每个结点有小于k个后继,则T有一长度为k的分支;k是可测基数,则[k]²的每个划分有一个基数为k的齐次集。

滤子

特殊集合族,设S是非空集合,S上的滤子是由S的子集所组成的集族ℬ。

满足一下条件:S∈ℬ且∅∉ℬ;若X∈ℬ和Y∈ℬ,则X∩Y∈ℬ;若X∈ℬ且X⊆Y⊆S,则Y∈ℬ。

令A是S上的一个滤子,ℬ={X⊆S|X⊇A},则ℬ是S上的一个滤子,并称其为S上的由A生成的主滤子。

正则基数

如果一正则基数,既是极限基数又是正则基数的不可数基数(不与自然数等势的基数就是不可数基数),那么就称它为弱不可达基数。

若ℵ_α为弱不可达基数,则cf(ℵ_α)=ℵ_α,且α是极限序数(非0且不是后继序数的序数),因为cf(ℵ_α)<α,ℵ_α≥α,所以ℵ_α=α。

极限基数

不可数基数,在超限基数的正则序列ℵ₁、ℵ₂、……、ℵ_α、……中,若序数α是极限序数,则ℵ_α就是极限基数。

另外每一个超限基数都是一极限序数。

强极限基数

特殊的极限基数,如果无穷基数ℵ_α,对所有β<α都有2^β<ℵ_α,则称ℵ_α是强极限基数。

强极限基数就是极限基数,但极限基数不是强极限基数;在GCH下,强极限基数与极限基数没什么区别。

在ZFC公理中,无法证明存在不可达基数,不可达基数的不可达性是由ℵ₀的“不可能从比它小的基数出发,使用集论运算达到”平凡推广而来。

强极限基数的性质:k是强极限基数,则对任何λ,ν<k有λ^v<k;k是强极限基数,则2^k=k^cf(k);k是正则的强极限基数,则k^(<k)=k,这里k^(<k)=lim k^α(α→k);k是奇异的强极限基数,则2^(<k)=k,且k^(<k)=k^cf(k)

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