数学（一） (6-5)

α是极限序数，使α是长度为θ的递增序数序列的极限的最小序数θ称为α的共尾度，记为cf(α)，即cfα=min{θ|存在递增θ序列〈α_ξ:ξ＜θ〉，且lim α_ξ = α (ξ→θ)}。

非极限序数的共尾度定义为：cf(0)=0，cfα⁺=1

序数共尾度的性质：对任何极限序数α，共尾度cf(α)是极限序数，并且cf(α)≤α，等号成立时α是基数；cf(cf(α))=cf(α)，且cf(α)是基数、对极限基数ℵ_α，有cf(ℵ_α)=cf(α)；若α是极限序数，α＞0，则：当A⊆α，sup A = α时，A的序型otp(A)≥cf(α)、若β₀≤β₁≤β₂≤……β_λ≤……（λ＜γ）是α内的不降γ序列，并且lim β_λ = α（λ→γ），则cf(γ)=cf(α)；对任何无穷基数α，有α＜α^cf(α)

奇异基数：若cf(ω_α)＜ω_α，则无穷基数ℵ_α称为奇异的

正则基数：若cf(ω_α)=ω_α，则称ℵ_α正则的。

所有后继基数都是正则基数，奇异基数都是极限基数；存在任意大的奇异基数。

Ω逻辑与ω逻辑

Ω-logic和ω-logic是同一个，Ω和ω在古希腊之中都是最后，极限的意思。

图灵机

通用图灵机的表现：ZFC+V-logic+IMH+sharp生成照样有模型，他的所有证明方式能被通用图灵机所演绎。

如果广义图灵论题成立，整个宇宙，整个多元宇宙，整个终极多元宇宙的所有存在能弄出的一切数学系统，逻辑系统，以及证明树的基数都是至多阿列夫零。

如果x能演绎y的任意一种证明方式，那么x强于y

一阶逻辑与二阶逻辑

一阶逻辑(first order logic, FOL)也叫一阶谓词演算，允许量化陈述的公式，是使用于数学、哲学、语言学及计算机科学中的一种形式系统。

一阶逻辑是区别于高阶逻辑的数理逻辑，它不允许量化性质。

性质是一个物体的特性；所以一个红色物体被表述为有红色的特性。

逻辑程序的语言是一阶谓词演算的子集，因为它对许多任务有用。

一阶谓词演算可以看作是一种对逻辑程序的语言，它可以增加disjunction析取和显式量化。

一阶逻辑是一阶的，因为它允许对域内的个体进行量化。

一阶逻辑既不允许谓词为变量，也不允许对谓词进行量化。

二阶逻辑允许对一阶关系和谓词进行量化，其参数是一阶关系。这些都是二阶关系。

例如，二阶逻辑公式。

它定义二阶关系对称，如果其参数为对称关系，则为真。

一阶逻辑是递归可枚举的，这意味着会有一种完整的证明过程，在这个过程中，每一个真实的陈述都可以通过一个在图灵机上的证明程序来证明。

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