范畴理论 (2-2)

在第 3 节中，将更详细地研究笛卡尔纤维化理论。主要目标是证明给出 ∞ 范畴 C → D 的笛卡尔纤维等价于从 D 给出一个（逆变）函子到一个合适的 ∞ 范畴的 ∞ 范畴。这个结果的证明使用了单纯集的理论，并且具有相当的技术性。

在第 4 节中，通过详细分析∞范畴极限和colimit理论来完成奠定基础的工作。将证明，复杂图的极限可以根据简单图的极限进行分解。还将介绍 colimit 结构的相对版本，例如左 Kan 扩展的形成。

从某种意义上说，本书第1节至第4节的材料应被视为完全正式的。所有的主要结果都可以归纳为：存在一个合理的∞范畴理论，它的行为方式与普通范畴理论大致相同。许多想法都是对其经典对应物的直接概括，对于大多数掌握了范畴论基础知识的数学家来说，这些想法应该很熟悉。

在第 5 节中，引入了来自普通范畴理论的更复杂概念的∞分类类比：presheaves、Pro 和 Ind 范畴等。仔细利用这一事实将使能够推导出许多令人愉快的结果，例如伴随函子定理的∞分类版本。

在第 6 节中，来到了本书的核心：对 ∞-topoi 的研究，它可以被视为 Grothendieck topoi 的∞分类类似物。第一个主要结果是吉罗定理的类比，该定理断言了“外在”和“内在”方法对主题的等价性。

粗略地说，∞-topoi 是一个∞范畴，它“看起来像”空间∞范畴。将证明，这种直觉是有道理的，因为有可能在任意的∞拓扑中重建经典同伦理论的大部分。在第 7 节中，将讨论 ∞-topoi 理论与经典拓扑学思想之间的关系。

并且证明，如果X 是一个仿紧致空间，那么 X 上的“空间层”的∞-topos可以用 Ⅹ 上空间的经典同伦理论来解释：这将使能够得到引言中提到的比较结果。主题是几何拓扑学中的各种思想（如维度理论和shape理论）可以使用∞∞-topos 的语言进行重新表述。文章还将制定和证明经典上同调结果的“nonabelian”推广，例如 Noetherian 拓扑空间上同调的 Grothendieck 定理。在附录中，总结了经典范畴论和模范畴理论的思想，将在正文中使用这些思想。建议读者仅在需要时引用它。

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