范畴理论 (2-1)

我们要求“sheaves of spaces”只满足空间X 的覆盖条件，而不是任意的 hypercoverings 。除了这一点，可以以相同的方式进行，设 H(Ⅹ；K)＝π₀(F'(X))， 其中 F' 是通过强制“值为 K 的常数预层”满足这种较弱的下降条件而获得的（单纯）层。 于是得到的理论具有以下性质：

（1） 如果X 是仿紧致的，则 H(X；K) 可以用从 X 到 K 的同伦类集来确定。

（2）存在一个规范映射θ：H(X；K) → ˆH(Ⅹ；K)；

（3）如果X 是有限覆盖维数的仿紧拓扑空间（或有限克鲁尔维数的诺特拓扑空间），则 θ 是同构。

（4）如果K 只有有限数量的 nonvanishing 同伦群，则 θ 是同构。特别是，将 K 设为 E – M 空间 K(G，n)，那么 H(X；K(G，n))≈Hⁿₛₕₑαf(X；G). higher stacks 理论具有良好的形式性质，而 Brown-Joyal-Jardine 理论并不总是共享这些性质;本文将在第 6.5.4 节中总结这些情况。

然而，这些好的性质是有代价的。∞ – stαcks 和 ∞ – hyperstαcks 之间的本质区别在于，前者可能无法满足怀特海定理：例如，可以存在一个 pointed stack (E，η)，其中 πᵢ(E，η) 是所有 i≥0 的平凡的层，但 E 不是“可收缩的”（有关这些同伦层的定义，请参见 §6.5.1）。

为了对X 上的 stacks 理论和 X 上的 hyperstacks 的 Brown-Joyal-Jardine 理论进行彻底的比较，似乎有必要将它们都放入更大的上下文中。适当的框架由 ∞ – topoi 理论提供。粗略地说，∞ – topoi 是一个 ∞ – 范畴 ，它“看起来像”拓扑空间上层的范畴。对于每个拓扑空间（或拓扑）X，X 上的 ∞ – stαcks 构成一个 ∞ – topoi，Ⅹ 上的 ∞ – hyperstαcks 也是如此。然而，∞ – topos 与 X 相关的 ∞ – topoi 中享有更普遍的地位。

本书的目的是构建一个∞ – 拓扑理论，使我们能够理解上述讨论，并说明该理论与经典拓扑学之间的一些联系。所涉及的思想从根本上说是同伦理论，不能用经典范畴论的语言来充分描述。因此，本书的大部分内容都与构建一个合适的更高范畴理论有关。高等范畴理论的语言还有许多其他应用，我们将在其他地方讨论。

本文的总结：

我们将从第 1 节开始介绍高维范畴理论。目的是，§1 可以用作更高范畴学习的简短“用户指南”。因此，许多证明被推迟到后面的章节，这些章节包含了对∞-范畴理论的更详细和技术性的描述。我们希望，不想被技术细节所困扰的读者可以直接从第 1 节开始阅读第 5 节及以后的（更有趣的）材料，并根据需要回到第 2 节到第 4 节。

为了有效地处理∞-范畴，重要的是要有一个灵活的相对理论，这能够讨论在给定的∞范畴 C上纤维化的∞-范畴。于是将通过引入单纯集合之间的笛卡尔纤维化的概念来正式化这个想法。在第 2 节中的笛卡尔纤维理论以及几个相关概念，每个概念在高维范畴理论中都发挥着重要作用。

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