范畴逻辑（一） (6-5)

将任意Fmlₚ 中的公式解释为 B 中的一个元素。同样，在逻辑的语境下我们会说 ∼f 是递归定义的；这样的一个函数 f ，或者等价的说一个代数同态 ∼f ，是 ℙ 的一个代数模型当且仅当 ∼f 把所有 ℙ 中的公理都映射到 B 的最大元 1。如果我们类比之前所提到的范畴论对逻辑系统可解释范围的推广，在命题逻辑的语境下只考虑真值 2 就与我们原先仅仅考虑 Set 这个范畴中的模型是完全类似的；在代数语义的语境下将命题逻辑的解释推广到任意布尔代数则与之前范畴论把一般的逻辑系统推广到任意（满足一定性质结构的）范畴是完全类似的。值得注意的是，(5) 式表明在代数语义下， ℙ 的一个模型则与满足一定条件的从 Fmlₚ 到 B 代数同态完全一致了！

此处讲一些题外话。我们在上面看到的2 和 Set 的对应并不是偶然，这与范畴论的推广 n-阶范畴（ n- category）有直接的联系。一般的范畴可以认为 1-阶范畴；因为一个范畴中包含的数据是一些物体（objects）和它们之间的态射（morphisms）。我们还有更高阶的范畴，如 2-阶范畴或者是 ∞-阶范畴。一个 2-阶范畴不仅包含物体和它们之间的态射的信息，它们的态射之间还存在态射。但令人惊讶的是，我们同样有 -1-阶范畴和 -2-阶范畴。事实上 2 在 0-阶范畴中所处的地位和 Set 在 1-阶范畴中所处的地位是完全一致的。感兴趣的同学可以参考 John Baez 的一个讲稿：Lectures on n-Categories and Cohomology 的前半部分，在 arxiz 上可以找到。当然，如果读者熟悉同伦类型（Homotopy Type）相信对这样的认识更不会陌生了。

回到我们的正题。在命题逻辑的代数语义下，除了我们能够把命题逻辑的语义推广到一般的布尔代数上，最重要的构造是 Lindenbaum-Tarski algebra！在此为了行文方便，我们将其简称为 LT 代数。对于每一个基于命题变元集P 的命题逻辑系统 ℙ ，我们都可以构造一个对应的 LT 代数，让我们记为 Bℙ 。它的构造其实是非常自然的：作为一个集合， Bℙ 不过是 Fmlₚ 的一个商集（quotient），其设置的等价关系也非常直观：

φ∼ℙ ψ ⇔ ⊢ℙ φ↔ψ， (6)

即Fmlₚ 中的两个命题公式 φ，ψ 是等价的当且仅当它们在逻辑系统 ℙ 下是证明等价的（provably equivalent）。容易看出这是一个良定义的等价关系，我们也定义 ℙ 的 LT 代数的元素就是这所有的等价类构成的集合 Bℙ ≅ Fmlₚ/∼ℙ。我们可以证明的是， Bℙ 的确是一个布尔代数，其上的代数运算由下式的形式给出：

[φ]ℙ∧[ψ]ℙ＝[φ∧ψ]ℙ， (7)

其它的连词类似，其中[φ]ℙ 表示 φ 在 ∼ℙ 关系下所在的等价类。你可以根据简单的逻辑系统的证明性质得出 (7) 是良定义的，即其定义并不依赖于等价类中的代表元的选择。(7) 式具有着更为重要的意义：它表明我们取等价类的操作 [·]ℙ 实际上定义了一个代数同态：

[·]ℙ：Fmlₚ ↠ Bℙ. (8)

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