范畴逻辑（一） (6-6)

之所以 (8) 中的箭头写成↠ 的形式是因为其不仅简单地是一个代数同态，它还是一个商映射。

我们有两种方式来看这个商映射[·]ℙ 。首先我们可以从代数的角度来看逻辑系统是在干什么。从代数的角度，我们会发现一个逻辑系统事实上是某种表示（presentation）的工具，即我们是通过一个命题变元集 P 和一些逻辑连词先生成了一个自由代数，再在逻辑系统中通过规定什么是证明来给出一个等价关系；我们最后得到的便是这个抽象的代数结构 Bℙ 的一个表示。如果读者不太明白这个观点，可以类比我们在交换代数中表示一个交换环的方式。例如考虑这个非常重要的环 ℤ[x]/x² ，其中 ℤ[x] 是一个自由变量的多项式环（polynomial ring）。多项式环之所以在交换代数中非常重要就是因为 ℤ[Ⅹ] 是集合 X 上的自由环。而环 ℤ[x]/x² 就是通过先生成一个自由环，再模掉一个由等式 x²＝0 所生成的等价关系所得到的。在逻辑中是完全类似的： Fmlₚ 是我们生成的自由代数，命题逻辑系统 ℙ 的公理则类似于上面的等式 x²＝0 ，而命题逻辑的证明系统则规定了由这些等式生成的等价关系是什么，最后你所得到的是一个模掉了这个等价关系之后的商代数 Bℙ 。和交换代数中所有的环都有一个如前所述的表示一样（即所有的交换环都同构于一个自由环模掉一个等价关系），所有的布尔代数也都可以写成用前述经典命题逻辑表示的形式。对于任意一个布尔代数 B 你可以几乎重言式地构造一个命题逻辑系统如下：将命题变元集就取为 |B| ，即 B 所对应的集合。命题系统的公理则可再次重言式地取为所有在 B 中成立的公式都作为公理。你很容易可见，这样的命题公理所表示的那个 LT 代数正是 B 本身。因此我们再次总结强调：从代数的观点来看，经典命题逻辑是所有布尔代数结构的表示。

⊢⊤

我们还可以从逻辑的角度来看待 (8) 中的商映射。我们前面说明了，当我们把命题逻辑的语义推广到一般的布尔代数上，任何一个从Fmlₚ 出发且将 ℙ 中的公理都映射到最大元的代数同态都确定了 ℙ 的一个代数语义模型。特别地，(8) 满足这样的条件：对于任意可证明的命题公式 ⊢ℙφ，我们均有 ⊢ℙφ↔⊤ ，因此在我们的等价类下 [φ]ℙ＝[⊤]ℙ 。这表明根据我们 LT 代数的定义， [·]ℙ 确定了一个 ℙ 的代数语义模型。更为重要的是，这个模型满足下面的性质：

⊢ℙφ⇔[·]ℙ╞ φ， (9)

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。