范畴逻辑（一） (6-4)

在某种意义下范畴和逻辑是等价的。如果范畴与逻辑的结合仅仅停留在扩展了逻辑的语义上，我们显然还无法作出这个论断。但我想可能会令许多学习数理逻辑的读者惊讶的是，逻辑与范畴的结合远比上一节所描述的紧密的多！从本节的小标题可以看出，这一节想要说明的便是在我们这篇文章的大前提——即以模型为考虑基础——下逻辑系统和范畴是等价的，模型则与函子是等价的。在范畴逻辑中，这样的观点一般可以统称为函子语义（functorial semantics）。为了说给读者讲清楚这个道理，我们先从大家可能更为熟悉也更为简单的经典命题逻辑（classical propositional logic）和代数语义（algebraic semantics）讲起。

经典命题逻辑 = 布尔代数，模型 = 代数同态

假设我们有一个命题逻辑系统ℙ （为了简化，在此我们假设 ℙ 是经典命题逻辑，但其实完全相同的论述同样适用于其他任何一般的命题逻辑系统，我们仅将在最后提到这一点），其语言由 P 这个集合中的元素作为命题变元（propositional letter）。在一般的语义下， ℙ 的一个模型是对 P 中元素的一个二元赋值，即一个函数 h：P → 2 ，其中 2＝{0，1} 。我们把在命题变元为 P 是所有命题公式的集合记为 Fmlₚ ，这样的一个赋值函数 h 会进一步诱导出有公式的一个赋值：

∼h：Fmlₚ → 2. (3)

在逻辑上一般我们会说我们对∼h 的定义是递归的（recursive），即从命题变元的真值我们能够递归地定义所有命题公式的真值。从代数（或者说范畴）的角度来说，这个诱导出的赋值函数 ∼h 之所以存在是因为 Fmlₚ 是 P 上在我们给定的逻辑连词下的绝对自由代数（absolutely free algebra）。且注意，这样诱导出的 ∼h 是一个代数同态。例如对于合取（conjunction）我们有

∼h(φ∧ψ)＝∼h(φ)∧∼h(ψ). (4)

注意，(4) 的等式右边中的∧ 函数是在这个真值的集合 2 上定义的。对其它的逻辑连词类似的等式也是成立的。而这样的一个函数 h ，或者等价的 ∼h 是我们命题系统 ℙ 的一个模型当且仅当 ∼h 将所有 ℙ 中的公理都赋予真值 1。这便是一般命题逻辑语义的代数化表达。

而命题逻辑的代数语义则扩展了我们对命题逻辑语义的理解。此时我们不再要求必须从真值的角度给出命题逻辑的解释了，而我们可以在任何一个一般的布尔代数（Boolean algebra）当中解释我们的命题逻辑。对任意的布尔代数B ，对于我们命题系统 ℙ 的一个代数模型是一个函数 f：P → B ；同样，由于 Fmlₚ 是 P 上的自由代数， f 会诱导一个代数同态

∼f：Fmlₚ → B， (5)

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