范畴逻辑（一） (6-3)

G×G → G

m

类似的，关于逆和幺元的公理可以用如下图表的交换性来表达：

1ɢ×e e×1ɢ

G×1 → G×G ← 1×G

π₀ ↘ ↓m ↙π₁

G

〈1ɢ，i〉〈i，1ɢ〉

G → G×G ← G

！ɢ ↓ ↓m ↓！ɢ

1 → G ← 1

e e

其中1ɢ 是 G 的恒等映射（identity）， 1 可以暂时理解为一个一元集合（singleton）， ！ɢ 表示从 G 到 1 唯一的映射。可能和大家原本的思维习惯不太相同的是，为了采用图表（态射）的语言，常量 e：G 被解释成为了从一元集合到 G 的一个映射 e：1 → G 。如果大家是第一次看见交换图表，可能会感觉这样的表述方式有一些奇怪。但稍加思考大家便可以验证，上面的表述与用等式逻辑写下的群的公理是完全等价的。

以此来看，上面采用交换图表重写群的公理并没有任何实际的意义，毕竟它们表达了相同的内容。但范畴论的抽象性在此时就能发挥出其巨大的优势了：这些图表并不一定要看成是范畴 Set 中的图表；在任何一个具有有限乘积（finite product）——0元乘积代表范畴的终对象（terminal object）——的范畴中，上面的图表都是有意义的！这意味着如果我们将上面的这些交换图表改换成群的定义，我们就不仅能在 Set 这个范畴中谈论什么是一个群。

比如，我们可以在Top 这个范畴考虑什么是一个群。首先， G 此时是一个拓扑空间。在它上面我们同样要求有群的乘法、逆和幺元，并且满足一般的群公理。唯一的不同是，由于我们是在 Top 这个范畴中考虑上方的图表，上面所有的映射必须都是连续的。因此我们可以总结如下：在 Top 中的群就是一个具有拓扑的（一般意义上的）群，且在这个拓扑下我们要求群的乘法和逆运算都是连续的。这正是数学家们一般所考虑的拓扑群（topological group）的定义！其它的许多定义也如此，比如李群（Lie group）就是光滑流形范畴中的一个群，一个代数群（algebraic group，group variety）则是代数簇（algebraic variety）范畴中的一个群。感兴趣的读者还可以考虑 Grp 或者 Vect 等范畴中的一个群是什么（群范畴中的群是阿贝尔群，其证明依赖于著名的 Eckmann-Hilton argument；线性空间范畴中每一个线性空间上都有唯一的一个群结构，是其上的加法）。

由此可见，范畴论的出现极大地推广了逻辑系统可以应用的范围。更为重要的是，通过逻辑与范畴的结合，我们再一次将不同数学分支不同范畴内”相似“的结构和定义严格地统一在一个概念下：它们都是群的等式逻辑系统在不同范畴下的模型！

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