范畴逻辑（一） (6-2)

但从数理逻辑的角度，我们显然不希望过多地区分 PA 和它的保守扩张。这是因为，数理逻辑一般是站在模型的角度来看待逻辑系统的。这与数理逻辑的基本任务是相关的：数理逻辑的一个非常主要的任务是对我们在研究中遇到的不同的数学结构作出分类、并对不同的类别作出系统的研究。比如泛代数（universal algebra）便是从逻辑的角度对何为代数结构作出了划分，并研究一般的代数的性质。在数理逻辑和范畴论的语境下，只有公理系统能够用等式逻辑（equational logic）描述的才能严格地称之为代数。其中这包含着一些我们熟悉的例子，如群（group）、幺半群（monoid）、阿贝尔群（abelian group）、环（ring）、交换环（commutative ring）、格（lattice）等等。但一些同样我们日常生活中看作代数结构的对象如域（field）则不属于此列，因为域的公理必须使用存在量词（existential quantifier）。我们将在后面看到，这种从逻辑的角度对不同数学结构的划分是非常重要的；且严格来说，其重要性也必须通过范畴论的视角才得以最完美地显现。

基于此，本篇是从模型的角度出发来理解数理逻辑的。两个逻辑系统如果拥有相同的模型（这个表述目前并不完全准确，下面会更加详细地说明），我们就认为这两个逻辑系统是等价的。此处仅仅多阐述一点，这并不是一个微不足道的条件；并不一定仅仅在保守扩张的条件下两个逻辑系统才拥有相同的模型。这里仅举一个例子：考虑一个只有一个二元函数符号 ⨀ 和一个常量 e 的等式逻辑系统，且只有一条非逻辑公理如下：

(x⨀(((x⨀y)⨀z)⨀(y⨀e)))⨀(e⨀e)＝z.

(1)

如果你有足够的时间，你可以证明在我们的意义上，这个逻辑系统和我们一般见到的群的等式系统是等价的！尽管它们具有不同构的函数符号（它们的 signature 不同），但它们是能双向翻译的（bi-interpertable)。在这篇文章的后面我们还会看到其他等价的层次。

范畴对逻辑模型的推广

既然前面确定了我们在这篇文章中对逻辑以模型为基础的态度，我们现在便来仔细地谈谈在范畴论的角度逻辑系统的语义到底应该如何描述。对于单纯学习逻辑的读者来说，可能不知道的是逻辑的语义已经通过范畴论在现代数学家中有了极大的推广。

我们先以之前提到的群的等式逻辑为例。此时我们考虑一般的对群的公理化而不是上面 (1) 的公理化。即一个群是这样的一个结构：有一个对象G ，一个常项 e：G ，一个一元函数 i：G → G ，一个二元函数 m：G × G → G 。群的公理在等式逻辑中如下：

m(x，m)(y，z))＝m(m(x，y)，z)

m(i(x)，x)＝m(x，i(x))＝e

m(e，x)＝m(x，e)＝x (2)

值得注意的是，与 (2) 中的公理完全等价的，我们可以用交换图的形式重写上面的等式。感兴趣的读者可以先自己尝试一下。例如，乘法m 的结合律便可用下图的交换性来表示：

m×π₂

G×G×G → G×G

π₀×m ↓ ↓m

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