范畴逻辑（一） (6-1)

从大的方面来说，我们几乎可以从两个大的方面来理解数理逻辑所做的工作：作为一个数学分支的数理逻辑和作为数学基础的数理逻辑。在这两种观点下，对逻辑的看法以及我们能够使用的数学工具将截然不同。如果你把数理逻辑，特别是算数系统和公理集合论，看作是奠定所有其他数学基础的基本语言，那么你所采取的观点将会非常的不一样。首先，由于你的目标是给数学提供坚实的基础，原则上讲你能依赖的所有工具只有有限组合数学的内容。这就是为什么我们在学习皮亚诺算数系统时我们总会将定理陈述为如下的形式：“如果 PA 是相容（consistent）的，则……“。在我们的元理论不够强大的情况下，我们是无法证明 PA 的相容性的，更别说一阶逻辑的完全性定理或者其他数理逻辑中著名的定理了（一阶逻辑的完全性定理依赖于选择公理）。例如著名的 Gentzen 对 PA 相容性的证明便用到了一直到序数ε₀＝sup{ω，ωω，ωωω，· · ·} 的超限归纳法（transfinite induction），这显然超过了 PA 自身的能力（但所需要的严格小于公理集合论如 ZF 所具有的能力）。

对大部分人而言，我们不是在如上所述为数学奠定基础的语境下谈论逻辑的。此时，数理逻辑便成为了数学的一个分支。特别的，我们已经假设了有足够强大的数学公理可以任我们使用，我们在这些足够强大的公理下可以证明一些关于逻辑系统非常有用的性质，比如前面提到的一阶逻辑的完全性定理以及 PA 的相容性等等。在这篇文章中我们都将从这个角度来理解数理逻辑，而将忽略逻辑对与数学基础相关问题的重要作用。这确定了这篇文章探讨的大语境前提。

其次，对逻辑的理解还取决于你用逻辑来理解和研究什么类型的问题。研究的问题不同决定了你对何为一个逻辑这个问题的答案。与之相关一个最基本的问题便是：在什么情况下你认为两个逻辑系统是等价的？一个普世的回答是：如果两个逻辑系统对你关心的所有问题都给出相同的答案，则我们就认为这两个逻辑系统（在你所考虑的问题的范围下）是等价的。而考虑的问题不同时，你所得出的等价的概念，或者说你所认为的一个逻辑的概念则就是不同的。例如，在这个专栏的第一篇文章 一阶算数理论中的自指性 中，我们探讨了一阶算术系统中的自指性问题。在那篇文章中我们得到的一个非常重要的印象是，自指性问题（或更一般的 intentionality 的问题）对逻辑语言的许多参数是非常敏感的。比如，即便一个算术系统是 PA 的一个保守扩张（conservative extension），它们在对与自指性有关的问题上也会给出不同的答案。因此，从自指性的角度看待逻辑，我们得到的是一个对不同逻辑系统非常精细的划分。

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