希尔伯特（二） (6-4)

现在再希尔伯特空间中有一个波函数，它既可以看做是动量空间中几个不同动量的叠加，也可以看做是位置空间中几个不同位置的叠加。当我们想要观测它的动量时，我们就只看动量本征态 – 动量空间的坐标轴，例如上图中，这个波函数与动量1的夹角为α，根据玻恩规则，我们观测得到动量1的结果的概率就是cos²(α) 。

也就是说，这个概率是该波函数在动量1这个矢量的投影决定的。而观察之后系统由于已经具有了确定的动量1，那么观察后的波函数必然就变成了动量 的本征态 – 它坍缩到了“动量1”这根坐标轴上了。如果我们不依赖于希尔伯特语言来表述这个过程，那就是当我们观察动量时，我们把波函数用一系列简谐波的叠加表示出来，观察的结果必然导致这一系列简谐波的其中之一，而这个简谐波的出现概率就是它的加权系数的平方（归一化之后）。

同理，当我们观测粒子的位置时，我们就只看位置本征态 – 位置空间的坐标轴。而得到某个确定位置的概率，也是由波函数在这个位置本征态上的投影决定的，观测结束之后，波函数就坍缩到这个位置本征态的坐标轴上了。

因而，从形式理论上，玻恩规则又被称作“投影公理”。

进而我们可以把这个过程进行推广，除了位置和动量，其它所有的可观测量（诸如能量、角动量等）都存在着一组本征态：就是这样一种特定的波函数，它只包含了唯一可能的测量结果。进而，一个粒子的波函数其实不光可以表示为位置本征态的叠加、动量本征态的叠加。对每一个可观测量，它的一组本征态，都可以通过叠加的方式构造出这个粒子的波函数。这就是态叠加原理的普遍性。

从数学上可以证明，任何一个可观测量的一组本征态，都有一个非常有意思的特点，让它们表现的非常像欧氏空间里的笛卡尔坐标轴：

• 笛卡尔坐标轴相互正交。一个可观测量的一组本征态互相正交；

• 欧氏空间中的所有点都可以用笛卡尔坐标系来表示，希尔伯特空间中的任何一个量子态都可以用一个可观测量的一组本征态来表示；

• N维欧氏空间中一组n个坐标轴，是能够表示空间中所有点所用到的的最少数量的坐标轴，一个可观测量的全部本征态是能够表示希尔伯特空间中所有量子态所用的最少基矢。

简言之，任何一组本征态，它们两两之间互相正交，它们可以组合成为所有可能的量子态，并且它们是能够组合成所有量子态所用到的最少数量的基矢。用数学语言表述，它们可以构成一组最简完备的正交基矢。

那么，我们很自然地，选取某个可观测量的一组本征态作为基矢（“坐标轴”），就像是欧氏空间中选取笛卡尔坐标系一样水到渠成。用它来表示所有的波函数。任何一个波函数都可以看做是这组本征态的叠加。而每个本征态，就代表着一个确定的可观测量取值。因而，任何一个量子态所代表的力学量，都可以看做是它所有可能取值的叠加。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。