希尔伯特（二） (6-3)

显然，笛卡尔坐标系是最符合直觉的、最方便的一种坐标系选取方法。那么希尔伯特空间中有没有类似的，一般情况下都比较“方便”的坐标系呢？事实上是有的。例如说，我们前面提到的，任何一个波函数都可以看作是无数个确定位置的“尖峰” δ波叠加而成。因而这些尖峰就构成了一组基矢 – 一组坐标轴。而显然这些尖峰所代表的态矢量之间是没有重叠的 – 它们互相正交。因而这组尖峰就构成了一组类似于笛卡尔坐标系的互相垂直的坐标轴。我们可以把每个波函数都看作是这些尖峰的加权组合。在连续的系统中，这些坐标轴是无穷多个的、连续的，而在某些系统中，粒子只能有特定的离散位置，那么这些坐标轴就是离散的、或者有限多个的。

对于同一一个波函数，除了上述叠加以外，我们还有一些方便的叠加形式。例如，一个波函数可以看做是无数多个具有不同波长的简谐波叠加而成的。简谐波就是一种可以用你们数学中学过的正弦或余弦描述的[3]、具有严格周期性的、单一波长的波动。因为这种周期性，它必然是在空间无限延展的。

在量子力学中，波函数的波长是和粒子的动量联系在一起的[4]，一个确定的波长，就意味着一个确定的动量。因而，任何一个这样的简谐波，都代表着一个确定的波长，而不存在任何随机的概率。只有一个确定波长的波在数学中叫做“平面波”，它是一个在整个空间中均匀分布的，向前后两个方向无限延展的正弦波：

例如，同样是前面这个波函数，我们还可以用一系列平面波叠加得到：

数学上可以证明，任意一个波，我们总是可以找到某一组（可能是无数多个）具有一系列不同波长的平面波以及每个平面波的加权系数，把这个波写作它们的加权叠加。

给定一个波函数，我们把它“分解”成为这一系列的平面波以及它相应的权重系数，这在数学上叫做“傅里叶分析”。比如说我们讨论的这个波函数，它可以被分解成为9个不同波长的平面波的叠加（如上图所示）。我们同样可以证明，所有这些简谐波之间，也都是正交的。

而我们刚刚提到，每一个平面波都对应着一个确定的动量。那么一个波函数看作是这些平面波的叠加，就意味着这个波函数是由若干个动量态叠加而成的，根据玻恩规则，当我们测量它的动量时，我们会获得这些动量叠加中的其中一个结果，概率就取决于波函数与这个确定动量的量子态之间的夹角：

我们前面看到，对于一个“尖峰”的波函数，它的的位置是确定的。也就是说这样的波函数在我们测量时，总是会得到一个唯一确定的结果，而没有任何不确定性。那么我们把这个尖峰波函数称作位置的本征态。同理，对于一个空间无限延展的简谐波，它只有一个单一波长，因而我们测量它的动量时，就总会得到一个唯一确定的动量值，而没有任何不确定性。那么我们把这种简谐波叫做动量的本征态。在波函数的希尔伯特空间中，我们既可以用位置本征态作为坐标轴（此时我们可以把希尔伯特空间称作“位置空间，或坐标表象”），也可以选取动量本征态作为坐标轴（此时我们可以把希尔伯特空间称作“动量空间，或动量表象”），来表示一个波函数。这两种坐标系的选取方法，就是两个笛卡尔坐标系的旋转过程。如下图所示，我们用红色的坐标系来代表位置空间，它的两个坐标轴代表着粒子的两个位置本征态，而紫色的坐标系代表着动量空间，它的两个坐标轴是两个动量本征态。

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