希尔伯特（二） (6-5)

那么，自然而然地，我们可以把一个动量本征态（具有一定波长的平面波），表示为位置本征态的叠加。我们前面看到，动量本征态是一个在空间上无限延展，均匀分布的状态，这就意味着它需要在空间上前后无限远的范围内无穷多个δ波来叠加。也就是说，动量本征态是一个动量完全确定、但是位置分布在全空间的状态，也就是说，是一个动量完全确定，但是位置完全不确定的状态反过来，位置本征态也可以用动量本征态来叠加。我们用不同波长的平面波来叠加，随着我们用到的各种波长数目增多，我们可以发现，叠加而成的波就会渐渐地从空间的均匀分布向中心集中。波长数目用到的越多，这个波就越集中，中间出现的波峰就越“尖”。如下图所示，我们可以比较2个不同波长的平面波叠加，以及4个、8个、16个叠加的情况，就可以看出这种向中心的尖峰集中的趋势。我们可以合理得到结论（这个数学上可以证明），当我们用到从零到无穷大分布的无数个波长的平面波叠加时，我们就可以得到一个无限窄的Delta波。这就是我们如何用动量本征态叠加得到位置本征态的方法。我们可以看到，一个位置本征态是由无数个波长叠加成的，也就是说，位置完全确定，但是动量却完全不确定。

那么我们可以看到很明显的趋势：当波函数在空间分布非常窄（极限情况是δ波）的时候，它的波长分布非常宽（极限情况是平面波）；而反过来，当它在空间分布非常宽的时候，它的波长分布非常窄。这样我们就得到了一个不确定原理的美妙的解释：动量越确定，位置越不确定，反之动量越不确定，位置就越确定。因而我们可以看到，不确定原理其实是态叠加原理和玻恩规则的自然结论。

我们在第一部分说到过冯诺依曼定义的两类量子演化。这里我们可以有更深的认识。U过程就是幺正演化的过程，也就是我们不观察粒子的时候，它安装薛定谔方程的演化。这个过程是决定论的、连续的、幺正的。我们可以完全确定地计算任何时刻下粒子的量子态。当我们对其进行观测时，U过程就失效了，取而代之的是R过程，也就是概率性的、突变的、非幺正的坍缩过程。这个过程取决于我们要观察的可观测量。如果我们观测位置，那么它会坍缩在某个位置本征态（尖峰波），如果我们要观测动量，它会坍缩在某个位置本征态（简谐波）

这个过程在希尔伯特空间中，就是这样的：U过程是态矢量由薛定谔方程决定的、连续的、确定的旋转过程；而R过程则包括了我们选择一组可观测量的本征态，然后态矢量突然地按照投影的概率坍缩到这个本征态上。

这两种表述方法，就是在实际空间中以及希尔伯特空间中的不同表现形式。现在我们就有了一个非常方便的类比：波函数不过是希尔伯特空间中不断旋转的一个骰子。为何这么说呢？听我细细道来。

通常，量子态的维度是很多维的，我们前面在三维空间或二维平面中只是表达一下它的大致意思而已。也就是说，任何一个量子态，都是一个由很多个面叠加而成的“骰子”。比如说我们就拿一个简单的立方体骰子做类比。这个骰子是由六个面组成的。但是我们是否就能说，它只是由六个面组成的吗？当然不可以，因为我们可以从很多个不同的角度来观察这个骰子。当我们从每个面的正面观察，它就是六个平面构成的。但是如果我们从每个棱的正面来观察呢？那么我们看到的每一面，都是由两个平面构成的。如果我们从每个角的正面来观察呢？它就会是这样的：我们完全可以说，一个骰子是由上面六种状态叠加而成的，每一个状态都包含了三个平面。就好像是说，对一个量子态而言，我们可以认为它由一系列位置本征态叠加而成，同样我们也可以说它由一系列动量本征态叠加而成 – 每个动量本征态包含了若干位置本征态的叠加。

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