希尔伯特（二） (6-2)

√2 √2

也就是说，可叠加性就必然意味着，ψ不但可以用ψL和ψR叠加而成，也可以用ψ1和ψ2叠加而成，只不过是它们的系数变了。那么，ψ可以在ψL和ψR构成的坐标轴下表示，它的坐标为（a,b），同时，我们也可以选取ψ1和ψ2作为坐标轴，此时这个波函数的坐标就变成了：

α＋b α – b

(──，──)

√2 √2

这个坐标轴的变换和上述速度的坐标变换并无二致：

ψ、ψ₁、ψ₂、ψʟ、ψʀ

α＋b α – b

───、───

√2 √2

ψ(x)＝αψʟ(x)＋bψʀ(x)

α＋b α – b

＝─── ψ₁(x)＋─── ψ₂(x)

√2 √2

量子态可以看做任意的其他量子态的叠加

推而广之，对于一个任意的波函数Ψ都可以看做是一组波函数ψ的叠加，也可以看做是另一组波函数φ的叠加。我们总是可以根据我们的意愿选择这样的一组ψ或者一组φ，使得任意一个波函数都可以用它们的叠加来表示。这就是量子态作为“态矢量”的几何意义。

就像是空间中的每个点，我们都可以通过笛卡尔坐标系来度量一样，对于某一个量子系统，我们也想选择一组坐标轴特定的量子态φ，用它们的叠加把这个量子系统的全部可能量子态表示出来，这组φ就被称为一组“基矢”，它担当着类似笛卡尔坐标系中的坐标轴的作用 – 笛卡尔坐标系用三个坐标轴方向上的叠加把所有的空间矢量都表达出来，希尔伯特空间中用一组基矢的叠加把所有可能的量子态表达出来。与笛卡尔坐标系不同的是，要想覆盖所有的量子态，所需要的基矢数目是不同的。由一组基矢如果可以覆盖全部的量子态，那么这组基矢就可以定义一个量子态的空间（“张成”一个空间），这就是希尔伯特空间。

所以，我们用抽象语言来表达波函数或量子态，就可以这样说：

量子态是居住在希尔伯特空间中的一个矢量 – 态矢量。态矢量的线性叠加决定了它的坐标系可以任意选取，态矢量的幺正性决定了它只能在希尔伯特空间中的单位球面上旋转。

既然在态矢量的居所 – 希尔伯特空间 – 中我们可以任意选取坐标轴来描述一个波函数，那么我们一般应该如何选择这个坐标系呢？在前面速度矢量的例子里，一个三维欧几里得空间中，我们最常见的选择就是笛卡尔坐标系 - 这个坐标系的方向可以根据需要任意旋转。当然我们可以选择其他的坐标系，例如任意三个不同面的方向（不一定是两两垂直）都可以，在有的特定情况下这种选择更加方便。我们甚至可以选择三个曲线作为坐标系。例如在下图中，红色的是笛卡尔坐标系，绿色的是一般的直线坐标系，而蓝色的则是一般曲线坐标系。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。