希尔伯特（二） (6-1)

我们知道，任何一个速度都可以看做几个方向上的速度叠加。例如，向东北方向的一个速度，可以看做向东的速度和向北的速度两个分量的叠加。我们应该注意的一点是，这个叠加的方式是任意的，有无穷多种。相应地对一个速度而言，它所处的坐标系也就是是可以任意选取的。如下图，一个速度w，它在坐标系1（红色）中，是由vx和vy两个速度叠加的，而在坐标系2（蓝色）中，是由ux和uy两个速度叠加的。总之，在一个平面中，我们只需要两个坐标轴，就能表示所有的矢量。对于同一个矢量，我们选择不同的坐标系，对应的叠加方式（系数）就不同，因而，它的坐标表现就不同，例如，在坐标系u中，W的坐标为（a，b），而在坐标系v中，它的坐标就是(x,y)。也就是说，同样的一个速度矢量，在不同的坐标系下，它所表现出来的坐标是不同的，但是矢量还是那个矢量，一点都不会变化。

在一个二维平面中，所有的矢量都可以用两个互相正交的单位矢量（坐标轴）以及这两个方向上的坐标来确定；相应地，在三维空间中，我们需要三个方向。一旦这三个方向确定了，整个空间的所有的点就确定了。

W=auₐ＋bub＝xvₓ＋yvy

速度可以看做不同方向上的速度叠加

同样道理，当我们把一个波函数看做是若干其它波函数的叠加时，我们是不是只有一种叠加方式选择吗？答案是否定的。就好像5可以是1+4得到，也可以是2+3得到，还可以是1.5+3.5得到，……，总之，我们可以把5看做是无数种数字组合相加的到底。相类似地，一个波函数也可以看做是无数种不同的波的组合模式。一个波函数，我们都可以看做其他几个波函数叠加而成的，和速度矢量类似，这种叠加方式也是任意的。比如说我们前面所说的波函数：

ψ(x)＝αψʟ(x)＋bψʀ(x)

如果我们先ψL和ψR作为“坐标轴”，那么，这个波函数的坐标就是（a，b）。我们也可以用这两个波函数的任意叠加构造出另外任意不同的波函数，例如，我们构造这样两个波函数：

1

ψ₁(x)＝── (ψʟ(x)＋ψʀ(x))

√2

1

ψ₂(x)＝── (ψʟ(x) – ψʀ(x))

√2

请注意，上式中的1/√2是为了满足归一化的系数。前面我们提到过，ψL和ψR是不重叠的，因而是正交的。那么我们可以用矢量的表示方法把这种构造表示出来：

ψ₁、ψ₂、ψʟ、ψʀ

1

─

√2

1

– ─

√2

1

─

√2

我们可以看到，在我们这种构造方法中，ψ1和ψ2也是正交的。现在，我们可以把我们最初的波函数ψ变换一下，用ψ1和ψ2的叠加方式来表示，很容易经过简单运算，我们就可以得到：

ψ(x)＝αψʟ(x)＋bψʀ(x)

α＋b α – b

＝─── ψ₁(x)＋─── ψ₂(x)

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