概率（一） (5-3)

但是这种经典概率有着它的漏洞。比如说，对于我们完全无知的两个事件，我们应用无差别原理，可以看做等概率。但是，我们可以用不同的方式来看待这种不可区分性，并且他们之间不相容：比如说所谓的Bertrand悖论。这个悖论是这么说的 [2]，如果一个工厂生产某种立方体，它的边长可以从0到1之间随机变化，对边长的具体情况我们毫不知情。那么从这个工厂的产品中我们随机取一个出来，它的边长小于0.5的概率是多少？根据无差别原理，在我们完全无知的情况下，边长小于0.5和大于0.5应该是等概率的，那么这个概率是50%。但是，如果我们问，我们随机取出的这个产品的一个面的面积小于1/4的概率是多少？同样根据无差别原理，我们对各自可能的面积也是完全无知的，那么面积小于1/4的概率就应该是25%。同理，我们也可以说体积小于1/8的概率是12.5%。但是我们知道，前面问的三个问题，其实是同一个问题：边长小于0.5，就是面积小于1/4，也就是体积小于1/8。那么同样的一个事件，为何会有不同的概率？

我们可以辩解说，其实边长的均匀概率分布就意味着面积和体积不均匀分布，所以我们如果认为边长小于0.5和大于0.5无差别，就不能认为体积大于0.5和小于0.5无差别。它们总是至少有一个是不能视作无差别的。可是在我们完全无知的情况下我们凭什么认为边长无差别要优于面积（体积）无差别？

这时你可以说，可能是工厂生产工艺本身的特点就是边长的变化是等概率的，所以我们只能用边长无差别来考虑。那么问题就来了：我们本来是想用无差别原理来定义概率，但是现在变成了，无差别原理只能应用于等概率的情况，那么我们是在用“等概率”来定义“概率”，这显然是循环定义！

人们只能进一步来打补丁，认为无差别原理所阐述的，其实是一种对称性，对称性是一种相对于某种变换所保持的不变性。举一个几何的例子，一个中心对称的图形指的是沿着中心旋转任意角度图形不变。那么，对一个硬币来说，它将来落地的后不论哪一面向上，我们把它翻转过来，对现在的我们而言是毫无差别的 - 因为我们本来就不知道它哪一面朝上，翻转不翻转毫无意义，那么我们知道，这正反两面的概率是对称的，对我们而言毫无区别；同理一个骰子，它六面落地的情况是对称的，对我们而言毫无区别。那么这种对称性就表现为等概率。而Bertrand悖论中，我们必须预先要知道，相对于我们的无知而言，这个工厂的产品是关于什么对称的。如果是关于边长对称，那么我们只能认为边长是无差别的，在我们对这种对称性毫无所知的情况下，我们只能承认这个问题无解。

对经典概率还有一种不安，就是它表达的是人们的“无知程度”，这看起来多少有些主观的意思。当然，拉普拉斯对此辩称，我们的无知，也就是初始条件的有限精确度，是一个确定的客观概念。比如说，我们测量硬币抛出的速度，我们完全可以根据测量过程和测量仪器，知道我们的误差范围。在这个测量精度所能辨识的范围之外的一切初始状态，它们所导致的最终状态（正面向上还是反面向上）就是不可辨的。当然，这仍然不会消除“主观性”的影响。就像我们前面章节 4、抛硬币和概率性 讨论的，如果一个机器可以很好地控制抛硬币的力度，那么硬币落地的状态是可以精确确定的，概率将毫无用武之地。在“抛硬币机”看来，硬币的概率显然和用肉眼来看不同：这个概率是依赖观察的，它并非仅仅是事件本身的性质。

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