范畴逻辑（二） (6-6)

每个逻辑片段都具有不同的逻辑连词，这些逻辑连词的逻辑性质几乎是在右边一一对应着范畴中的具体结构。例如解释有限合取（包括空合取⊤ ）我们便需要范畴中有有限极限（finite limit），这对应于右边的笛卡尔范畴（左边笛卡尔逻辑中 ∃！ 并不是说我们有唯一存在的这个逻辑连词在我们的逻辑系统中，而是说如果从公理中我们能够推导出存在的唯一性我们便可使用这个存在量词；读者可以上网查阅具体细节）。在正规逻辑中我们能够使用存在量词，这对应着我们的范畴中除了是有限极限完备的，还要能够有对态射取图像（image）的操作，在范畴论中这样的范畴也叫做正规范畴。连贯逻辑加入了有限析取（包含空析取 ⊥ ），这对应着在我们的范畴结构中还需要有限余极限（colimit）的结构，并且这些余极限必须和极限结构相容，这些范畴也被称为连贯范畴。几何逻辑则是把有限的析取推广到了无限的析取，在范畴中的层面也对应着有无限余极限的结构。在一阶直觉主义逻辑和一阶逻辑中我们还加入了导出连词和全称量词，这些对应着范畴结构中的一些（局域）笛卡尔封闭结构（[locally] Cartesian closed），对应的范畴分别叫海廷范畴和布尔范畴。（值得进一步说明的是，以上的这些片段全部是在 sequent 形式下表述的，因此即使是在没有导出连词和全称量词的情况下在这些逻辑片段中我们一般也是可以表达一层的导出和全称量词的；具体更加细节的表述可以参考[1]）。

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