范畴逻辑（二） (6-5)

此时再由 Yoneda 引理，我们可以推断C𝔾'≅C𝔾。因此可见，尽管 𝔾 和 𝔾' 是两个不同的逻辑系统，但在这个意义上它们都可以看作是（在等价的意义下）同一个语形范畴 C𝔾 的不同表示。而语形范畴则是在保持某个逻辑系统所有的语义信息不变的情况下我们所得到的某种不依赖于具体表示（presentation invariant）的对象。在这种意义上，我们的语形范畴是在我们只关心逻辑的模型的大前提下对逻辑系统非常好的抽象。

逻辑片段与范畴结构

在本文的结尾部分我们来阐述本篇文章标题所指的内容。如果你非常严肃地看待前面两节的小标题，你会发现我们前面的描述其实并不完全准确。对于命题逻辑，我们仅仅指出了某种特殊的结构，即布尔代数，和经典逻辑的对应；对于推广的逻辑系统，我们也仅仅研究了最最简单的等式逻辑和有限乘积完备的范畴之间的对应关系。这些都只是一般情形的中很小的一部分特殊的结构。

事实上，逻辑和范畴结构之间的对应远比我们前面所描述的要来的深远。在等式逻辑中我们除了等号，其他所有的逻辑连词都无法使用。在这之上我们还有很多逻辑片段，这些逻辑片段与它们对应的范畴结构都列在下表中了：

逻辑片段 范畴结构

等式逻辑(=) 有限乘积完备范畴

笛卡尔逻辑（Cartesian Logic）（=，⊤，∧，∃！）

笛卡尔范畴（Cartesian Category）

正规逻辑（Regular Logic）（=，⊤，∧，∃） 正规范畴（Regular Category）

连贯逻辑（Coherent Logic）（=，⊤，∧，⊥，∨，∃）

连贯范畴（Coherent Category）

几何逻辑（Geometric Logic）（=，⊤，∧，⊥，∨，∃） 几何范畴（Geometric Category）

一阶直觉主义逻辑（=，⊤，∧，⊥，∨，→，∃，∀）海廷范畴（Heyting Category）

一阶经典逻辑（=，⊤，∧，⊥，∨，→，¬，∃，∀）

布尔范畴（Booleán Category）

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