范畴逻辑（三）

从上面的表中我们可以看出，不同的逻辑连词于其证明论性质非常细致地对应着范畴中不同的结构；而且对于每一个对应的层级，我们之前在“逻辑 = 范畴，模型 = 函子”中的所有论述都几乎完全适用，只是我们需要一致地更换许多定冠词，使得我们考虑与某个逻辑片段相对应的正确的范畴结构。

同时，在命题逻辑中我们也有一个类似的表。表的左边仍然是具有不同逻辑连词的命题逻辑片段，而表的右边所对应的则是具有不同（余）极限结构的偏序。我们之前所描述的经典命题逻辑是结构最为完整的情况；我们当然还可以考虑直觉主义逻辑或者是只有有限合取的命题逻辑片段，这些都再次对应着偏序上的一些结构。这与我们之前提到的n-阶范畴的分层有着非常紧密的关系：我们可以将命题逻辑称为 0-阶逻辑，而 0-阶逻辑的不同片段便对应着 0-阶范畴（即偏序，或者说 categories enriched over 2 ）中的不同结构；同样的，一阶逻辑的不同片段则对应着 1-阶范畴（即普通范畴，或者说 categories enriched over Set）中的不同结构。这再一次说明，逻辑结构和范畴结构之间的联系是万分紧密的！

总结

首先，一开始我们就确定了我们在什么层面上来看待逻辑。根据你关心的问题不同你可能对什么样的逻辑系统是等价的这个问题有不同的答案；我们确定了我们这篇文章是站在模型的角度来看待逻辑的。随后，我们将等式逻辑的语义推广到了一般的范畴上，再一次看见了范畴论和逻辑结合后对我们有序地组织我们的数学观念起到的非常好的作用。之后我们进入了这篇文章的最主要的部分，我们通过命题逻辑和等式逻辑的两个例子讲述了在范畴论的观点下对逻辑系统的看法。每个逻辑系统都能看作是某个代数对象（经典命题逻辑是布尔代数，等式逻辑则是有限笛卡尔积范畴）的表示，表示的具体方式是由逻辑的语言生成一个自由结构，再由逻辑的公理和推理系统对这个自由结构做一个商。最终我们得到的这个商结构在代数上满足商的泛性质，从而使得我们逻辑系统的模型可以等价地由从这个商结构出发的某种态射来描述（经典命题系统是布尔代数的同态，等式逻辑则是保持有限笛卡尔乘积的函子）。在逻辑上这个商结构包含了我们逻辑系统所有的信息，在其中为真的语句和在逻辑中能证明的语句是完全对应的，这使得我们推广的语义具有非常好的完全性性质。我们也提到了在这样的代数语义和函子语义的视角下如何看待之前的完全性定理，为后来讲语形与语义的对偶打下基础。在最后一节，我们主要通过表的形式看待了不同一阶逻辑片段与不同范畴结构之间细致的对应关系，并且在更高的 n-阶范畴的层面给出了命题逻辑-一阶逻辑与偏序-范畴之间紧密的联系。

参考：

1. Caramello, O. (2018). Theories, sites, toposes: relating and studying mathematical theories through topos-theoretic'bridges'. Oxford University Press.

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