范畴逻辑（二） (6-4)

D 中这样的三个态射，或者等价地说从 Tɢ 到 D 的一个保持有限乘积的函子 F ，是 D 中的一个群当且仅当这个函子尊重 Tɢ 上由 𝔾 生成的等价关系，即在 (12) 中的这三个态射满足如前所述由交换图表表示的群公理；更进一步，由于 C𝔾 是通过这个等价关系生成的商，我们可以有如下通过泛性质地表述：从 Tɢ 到 D 的一个保持有限乘积的函子 F 定义了 D 中的一个群当且仅当存在 C𝔾 到 D 保持有限笛卡尔积的函子使得如下图表交换：

q

𝓣 ɢ↠𝓒 𝔾

↘ ⇣

F 𝓓

即与代数语义中模型和代数同态类似，我们再一次有D 中的群与从 C𝔾 到 D 保持有限笛卡尔积的函子等价！这一般称为范畴逻辑中的函子语义（functorial semantics）。再说得精炼一些，我们有如下的等价关系：

Mod𝔾(D)≅FP(C𝔾，D). (13)

其中，Mod𝔾(D) 表示 D 中的 𝔾 模型， FP 表示有限笛卡尔积完备的范畴和它们之间保持有限笛卡尔积结构的函子所构成的范畴。

至此，我们已经将所有的内容采用范畴的语言进行了推广于重述，最终得到了我们想要的式子 (13)。但在范畴论的背景下我们还有一些更多的内容需要注意。首先，当我们研究群的时候不仅是群结构本身对我们重要，同等重要的还有群之间的同态。假设我们有在D 中的两个群 M，N ，等价地两个保持有限笛卡尔积的函子 M，N：C𝔾 → D 。从群的观点出发，一个群同态可以理解为两个群结构之间的一个态射 h：M → N 使得它于这两个物体上的群结构如乘法和求逆等交换；如果你把这些条件显式地写出来，你会发现在将模型 M，N 看作函子的观点下这完全等价于从 M 到 N 的一个自然变换！这表明，(13) 式不仅仅在集合的意义上是成立的，它所描述的是两个范畴——即 D 中的群和群同态构成的范畴 Mod𝔾(D) 和从 C𝔾 到 D 所有保持有限笛卡尔积的函子范畴——的等价！

更为重要的是，(13) 所描述的等价对于范畴D 是自然的，即 (13) 是一个自然等价（natural equivalence）。这其实说的是我们构造的语形范畴 C𝔾 是取群模型的这个 2-函子（2-functor）Mod𝔾(·)：FP → Cat 的代表对象（representing object）。于是，根据 Yoneda 引理我们知道 C𝔾 就在等价的意义上被唯一地确定的了。如果我们回到我们之前提到过的用一个0元函数 e 和一个二元函数 ⨀ 来公理化群的等式逻辑系统，假设其记为 𝔾' 。由于我们前面提到 𝔾' 和 𝔾 是可双向翻译的（bi-interpretable），这表明 𝔾' 的模型和 𝔾 的模型是完全一致的，因此我们有下列一连串的自然等价：

FP(C𝔾'，D)≅Mod𝔾'(D)≅Mod𝔾(D)≅FP(C𝔾，D).

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