范畴逻辑（二） (6-3)

直观地来讲，我们所生成的自由范畴中所有态射都应该是由这三个操作所生成的，且由于在其中我们应该能够计算笛卡尔积，我们应该要求我们生成的自由范畴有有限的笛卡尔积结构。所以总结来看，我们由𝔾 的语言生成的自由范畴 Tɢ 应该是由一个物体（object） G 以及如上图所示的三个态射所生成的自由有限笛卡尔积完备的范畴（the free finite product complete category on a single object G and three morphisms displayed as above）。 Tɢ 中的所有物体应该都同构于 Cᵐ，n∈ω ，所有的态射应包含 m，i，e 和所有的投影映射（包含恒等映射和到终对象的唯一映射），且应对所有有限笛卡尔积完备的范畴中的操作封闭，如复合运算和 〈·，·〉 运算。

此时我们所生成的自由范畴Tɢ 还不包含任何群公理的信息。为了使得其包含我们等式公理系统中 𝔾 的信息，我们必须在 Tɢ 上模掉由前述表达群公理的交换图所生成的等价关系；由此，我们得到的是一个商范畴 C𝔾 ，我们称其为群公理系统 𝔾 的语形范畴（syntactic category），这个语形范畴包含了和 𝔾 等价的信息。值得指出的是，由于我们的等价关系全部是在态射层面，模掉这个等价关系并不会影响我们范畴中的物体，只是令物体之间一些原本在自由范畴中不想等的态射变成相等的了。因此， C𝔾 和 T𝔾 有相同的物体。

首先可以确定的是，由于C𝔾 是通过在 Tɢ 上模掉一个等价关系而形成的，我们有一个从 Tɢ 到 C𝔾 的商函子（quotient functor）：

q：Tɢ↠C𝔾. (11)

q 作用在 Tɢ 上的方式是显然的：由于 C𝔾 和 Tɢ 有相同的物体，因此 q 作用在物体上是显然的；对于态射，它仅仅是将原本在 Tɢ 中的态射映射到其在 C𝔾 中的等价类上。可以验证， q 是一个良定义的函子。

其次，我们来看Tɢ 和 C𝔾 到其他范畴 D 的函子与 D 中的 𝔾 模型，即 D 中的群，的关系。假设 D 是有限笛卡尔积完备，即其上具有有限笛卡尔积结构，由于 Tɢ 是由一个物体 G 以及三个态射 m，i，e 自由生成的有限笛卡尔积完备范畴，任何从 Tɢ 到 D 的一个保持有限乘积（preserve finite product）的函子 F 就等价于我们在 D 中选出一个物体（即 G 在 F 下的像 F(G) ）和三个态射

F(m)：F(G) × F(G) → F(G)，F(i)：F(G) → F(G)，F(e)：1 → F(G). (12)

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