范畴逻辑（二） (6-2)

最后再说明两点。首先，由于在这样的观点下我们把命题系统看作是某个代数的表示，这预示着不同的命题系统可能会表示相同代数结构。这与我们最开始提到的群结构的两种公理化方式是类似的。从模型的角度来看，如果两个语形上不同的命题系统表示了同构的代数结构，则由 (10) 式我们可以看出它们也具有相同的模型。因此从本文在第一部分所设立的基于模型的角度来看待逻辑的大前提下，我们此时可以说这两个逻辑系统是等价的。在这个意义上，我们才有“经典命题逻辑 = 布尔代数”中的等号是成立的。第二，(10) 式和经典命题逻辑在一般语义下的完全性定理告诉我们，我们仅仅考虑Mod(ℙ) ，即所有从 Bℙ 到 2 的代数同态，我们就能够还原出 Bℙ 的结构，因为考虑所有一般模型的满足关系就能让我们还原出我们推理系统的证明关系，由此便可（在同构的意义上）唯一地确定 Bℙ 。经典命题逻辑的完全性定理在我们这个代数的观点下说明了一个非常深刻的数学定理：它说明每个布尔代数都有足够多的到 2 的态射使得从这些信息我们能够还原出其本身的代数结构。用更现代的数学语言来说，这就是有关布尔代数 Stone 对偶所表达的内容！在此处我们不过多地涉及了。

逻辑 = 范畴，模型 = 函子

如果你理解了前面命题逻辑的例子，你会发现几乎完全相同的思考方式能够毫不费力地推广到一阶逻辑的各个片段（fragment），只是我们此时必须考虑更一般的范畴，而不仅仅是诸如布尔代数这样的代数结构（后面我们会阐明，我们在这一节中采用范畴的语言所表述地严格地包含了之前命题逻辑的例子）。

让我们回到我们之前非常简单的群的等式逻辑的例子。其语言非常的简单，只有三个函数符号（此时我们把常量看作0-元函数符号），从这三个函数符号我们能生成许多的项（term），而逻辑公理是这些项之间的等式。我们把群的等式系统记为𝔾。类比之前我们对命题逻辑的陈述，我们应该已经能懂得如何从范畴的角度看待这样的逻辑系统了：首先，我们的逻辑语言本身可以看作是生成某种自由结构（free structure）的工具——由于我们本篇的篇名叫范畴逻辑，读者可以很放心大胆地猜测其生成的必定是某种自由的范畴——而我们的逻辑公理则描述了这个自由范畴上的某种等价关系，最终我们根据这个逻辑系统 𝔾 所生成的便是一个从一个自由范畴模掉一个等价关系之后所生成的商范畴 C𝔾 ，这个商范畴 C𝔾 便是类似于命题逻辑中 LT 代数 Bℙ 一样的构造。从代数的角度（这里更准确地说是从范畴的角度），这个商范畴必定满足与这个等价关系相对应的泛性质。用逻辑的语言来说，这表明我们的逻辑系统 𝔾 在任意范畴 D 中的模型，即 D 中的一个群，应该是从这个商范畴 C𝔾 到 D 的一个函子。从逻辑的角度来说，这个生成的商范畴 C𝔾 应该可以看作我们逻辑系统 𝔾 的一个泛模型，即其结构应该完全地反应了 𝔾 中的证明信息。最后的最后，我们应该有类似于 (10) 的式子将所有的这一切很好地总结起来。希望读者从之前对命题逻辑的叙述中已经能够基本理解这样的想法了。接下来便让我们更加详细具体地阐述这上面所提到的内容。

让我们首先看看什么是从𝔾 的语言中生成的自由范畴。如前述所讲， 𝔾 的语言中只包含着三个函数符号，可以用下图简洁地表示：

m i

G×G→G←G

↑e

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