范畴逻辑（二） (6-1)

即对于任意一个命题公式φ ，其在 ℙ 中可证明当且仅当其在这个模型 [·]ℙ 中为真。(9) 式是成立的可以完全从我们对 LT 代数的定义中看出来。这表明由于 LT 代数的存在，代数语义有着比命题逻辑的一般语义更为简洁明了的完全性定理：对于一般赋予真值的语义，完全性定理说的是如果一个公式 φ 在所有（一般）模型中都为真，则 φ 也能被我们的公理系统证明；但在代数语义下，我们不需要考虑所有的代数语义模型了，我们的完全性定理的信息包含在了这唯一的这一个语义模型 LT 代数当中，因为在其上为真已经完全等价于可证明了！我们把满足这样性质的模型，即其上的满足关系（satisfaction relation）和公理系统的证明关系完全对应，称为 ℙ 的泛模型（universal model）。换句话说，我们可以用逻辑的语言刻画我们的公理系统所表示的那个代数对象：一个命题逻辑系统 ℙ 所表示的布尔代数正是它的泛模型。

基于此，或者说基于 (9) 式，我们能够证明我们构造的 LT 代数Bℙ 满足如下的泛性质（universal property）：对于任意代数同态 f：Fmlₚ → B ，它是 ℙ 的一个代数语义模型（即它把 ℙ 中的公理映到最大元）当且仅当存在 Bℙ → B 使得如下图交换：

[·]ₚ

Fmlₚ↠Bℙ

↘ ⇣

f B

如果大家熟悉商空间的泛性质，前述是用范畴的语言重新描述了我们已经知道的如下事实：Bℙ 是自由代数 Fmlₚ 模掉由我们的公理系统 ℙ 生成的等价关系之后的商代数；上述泛性质本质上就是这个商的泛性质。这表明 ℙ 的所有一般模型可以有如下表达：

Mod(ℙ)≅Bool(Bℙ，2). (10)

这里Mod(ℙ) 表示所有 ℙ 的一般模型，Bool 是所有布尔代数构成的范畴。熟悉范畴论语言的朋友应该很清楚 Bool(Bℙ，2) 所代表的是在 Bool 这个范畴中所有从 Bℙ 到 2 的态射。(10) 式最为精炼地总结了我们在这一节中想要传达的观点：从代数的观点看，命题逻辑系统是一般代数的表示，具体方式便是由命题变元生成自由代数之后再由公理系统生成等价关系做一个商；这时任何一个经典命题系统都表示着某个布尔代数，且每个布尔代数也都由某个命题系统表示；这时，系统的模型（一般地或代数的）都可以看作是系统所表示的这个代数到其他代数的同态。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。