范畴逻辑（四） (4-3)

在引入范畴的语言之后我们可以将上面的 Stone 表示定理扩展为更加一般的 Stone 对偶 [Stone Duality]（关于 Stone 对偶的详细论述可以参见 Johnstone 的书[1]）。这个对偶定理的关键在于我们可以在所有 B 的模型的集合 Mod(B) 上赋予一个拓扑，使得赋予了这个拓扑之后我们能根据这个空间的性质恢复出原本的布尔代数 B 。我们赋予的这个拓扑和 Zariski 拓扑类似，其上定义的开集均形如：

{f∈Mod(B)│f(p)＝1}，for some p∈B.(6)

如果我们采用更加逻辑的观点，将B 看作是命题系统 ℙ 对应的 LT 代数，则我们可以等价地写成

{f∈Mod(B)│f╞ φ}，for some φ in the language of ℙ. (7)

形如这样的拓扑空间被称为 Stone 空间。如上的构造使得我们有一个从布尔代数到 Stone 空间的逆变函子 [contravariant functor]：

Mod：Boolᵒᵖ≅Stone.(8)

著名的 Stone 对偶定理便是说，上面构造的函子实际上构成了两个范畴间的等价，而 (5) 式中的表示定理则是这个对偶的一个简单推论。因此，Stone 对偶在某种程度上是经典命题逻辑完全性背后的更加深刻的数学基石。

让我们回过头来看看这样的对偶如何实现了我们在文章开头所说的语形和语义间的对偶。首先，在语形的层面我们将拥有相同模型的逻辑系统均看作是等价的了；在这个等价的意义上我们有了逻辑语形的代数化表达，即我们将一个逻辑系统等价成了一个抽象的布尔代数，且逻辑系统的模型同样通过代数同态来表达。而在语义的层面我们注意到，B 的所有模型 Mod(B) 不单单是一个集合，其上有一个自然的拓扑结构使得其上具有了几何信息。更加美妙的是，由 (6) 式可见这个几何信息是和我们的逻辑语形紧密相关的！在这个几何信息的帮助下，我们能够从所有模型构成的空间中恢复出原本的代数语形结构；这便是 (8) 式对偶告诉我们的深刻结果。

一阶逻辑

如何把命题逻辑中语形与语义的对偶推广到一阶逻辑的情形？这个问题目前还不能说有了一个非常清晰明确和统一的答案。首先，如我们前一篇最后所提到的，在一阶逻辑中不同的片段对应着不同的范畴结构，目前而言对一些片段我们已经有了类似的对偶定理。比如对于等式逻辑 [equational logic]，我们有类似的 Lawvere 对偶[2][3]；对于笛卡尔逻辑 [Cartesian logic]，我们有 Gabriel-Ulmer 对偶[4]；对于正规逻辑 [regular logic] 我们有 Makkai 对偶[5]等等。对于等号可判定 [decidable equality] 的连贯逻辑 [coherent logic] Awodey 和 Forssell 在[6]中也提到了其对应的表示定理。对于更一般的经典一阶逻辑的对偶，可以参考 Makkai 的[7]和 Awodey 的综述[8]。

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