范畴逻辑（四） (4-2)

同样，我们为了理解清楚关于语形和语义对偶的观念而不至于太技术化，我们仍然从经典命题逻辑 [classical propositional logic] 入手，介绍与此相关的经典理论 Stone 对偶 [Stone duality]。在上一篇文章中我们提到了如果我们在模型的层面上看待逻辑，则我们可以将任意一个抽象的布尔代数 [Boolean algebra]B 看作是一个逻辑系统：任意一个经典命题逻辑系统 ℙ 都诱导 Lindenbaum-Tarski 代数（简称为 LT 代数） Bℙ，它是一个布尔代数；而任意一个布尔代数 B 我们我们都有一个对应的命题系统 ℙʙ 来描述其结构，使得 ℙʙ 所对应的 LT 代数 Bℙʙ 和 B 是同构的；详细地描述参见上一篇文章。任意一个经典命题系统 ℙ 都可以看作是其对应的 LT 代数结构 Bℙ 的一个表示；因此，我们可以将任意一个布尔代数 B 看成与表示方式无关的逻辑语形的对应物。在此之后，我们便简单地将 B 称为一个经典命题逻辑系统，而更少地关心我们如何用一个具体的系统 ℙ 对其进行表示。

给定任意一个命题逻辑B ，在上篇文章中我们同样提到了其经典意义下的一个模型便是一个从 B 到 2 的一个代数同态， 2 可以被理解为我们的真值集合 {0，1} ，它上面的布尔代数结构与我们一般对真值的计算是一致。换而言之，我们有如下的等价：

Mod(B)≅Bool(B，2).(4)

(4) 式连接起了一个逻辑和数学对同一个事物的解读：在左边，我们有一个逻辑的一个模型；在右边，我们有从B 到 2 的所有代数同态。值得注意的是，如果我们采用逻辑的解读，我们最为关心的两个问题便是我们定义的模型类的可靠性 [soundness] 和完全性 [completeness]。由于我们已经把模型看作了代数同态，可靠性是自明的。更难以建立的是完全性的结论。对于一个经典命题系统 ℙ ，命题逻辑的完全性定理说的是对于任意的公式 φ ，其在 ℙ 中可证明当且仅当在所有的模型中其都为真。如果我们把我们允许的模型类扩大到所有的布尔代数并且采取代数语义，完全性是一个微不足道的结论，正是因为我们在布尔代数有中对任意一个命题系统的 LT 代数构造。然而，当我们把模型局限在经典模型，即我们只考虑从 B 到 2 的代数同态时，完全性定理则并不是一个显然的结论。

让我们从 (4) 式的角度来重新理解一下完全性定理。当我们把任意一个抽象的布尔代数B 看作一个命题系统时， B 中的元素则可以等价地看作是公式的证明等价类 [provably equivalent class]。完全性定理则等价的说，对于任意 p，q∈B ， p，q 代表着同一个公式等价类，即 p＝q ，当且仅当在所有的模型中 p，q 的赋值均相等。取换质换位 [contraposition]，我们则等价的有如果 p，q∈B 是两个不同的元素，则必定存在代数同态 f：B → 2 使得 p，q 的值在 f 下不同。用更加数学化的语言表达，完全性定理则表明我们如下的态射是一个嵌入 [embedding]：

〈f〉f∈Mod(B)：B → 2ᴹᵒᵈ⁽ᴮ⁾.(5)

这就是经典意义上的 Stone 表示定理 [Stone Representation Theorem]，即任何一个布尔代数都是一个集合的幂集代数的子代数。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。