范畴逻辑（四） (4-1)

Grothendieck 利用概形 [scheme] 的语言为现代的代数几何奠定了基础。其中最为基本的结果便是仿射概形 [affine scheme] 和交换环 [commutative ring] 之间的对偶 [duality]。具体的细节读者不用理解，但直观上，对于任何一个交换环R ，一个代数结构，我们可以对应的引入某种空间 Spec(R) （称为 R 的谱 [spectrum]，这样的谱称为仿射概形 [affine scheme]），一个几何结构，使得交换环这个范畴 CRing 和这些几何结构所构成的范畴 Aff 有如下对偶：

CRingᵒᵖ≅Aff，(1)

即交换环范畴CRing 的对偶范畴和仿射概形范畴 Aff 是等价的。这里，对于任意一个范畴 C ，我们可以形式地逆转 C 中所有态射的方向使得其形成一个新的范畴 Cᵒᵖ ；即 Cᵒᵖ 有和 C 一样的物体，但对于任意两个物体 A，B ，在 Cᵒᵖ 中存在一个态射 f：A → B 当且仅当 f 在 C 中是 B 到 A 中的一个态射。如果我们将 (1) 中的对偶概念化，在代数几何中我们常常会说某些几何结构和某些代数结构是对偶的，即我们有

Algebraᵒᵖ≅Geometry.(2)

如果用一句话总结，代数几何就是在研究一般的代数结构和几何结构之间的对偶。（这里值得一题的是，在我们有范畴的语言之前我们可能只有非常少的关于对偶的数学例子；但在范畴论的语言发展之后，每一个范畴都有其对偶范畴。范畴这个概念自身的这种“对称性”对范畴论的理论发展起到了非常重要的作用。）

令人惊讶的是，这个现代代数几何深刻的洞察同样适用于数理逻辑。注意，我们这里仍然在模型的层面上探讨逻辑，即拥有相同模型的逻辑我们便认为它们是等价的，并不加以区分；关于这一点更加详细的讨论详见我们之前文章 范畴逻辑 I——逻辑与数学结构的对应 的第一节。我们可以粗略地将逻辑中的语形 [syntax] 类比于代数，语义 [semantics] 类比于几何，则和 (2) 完全类似的，我们在观念层面有着如下的对偶：

Syntaxᵒᵖ≅Semantics.(3)

从某种意义上来讲，数理逻辑就是在研究这样的对偶！

为什么要关系语形和语义的对偶？从观念的角度来讲，既然我们只在模型的角度关心逻辑系统，我们一个很自然的问题便是：如果我们有了一个逻辑系统的所有模型的信息，我们能否在这个等价的意义上重构出我们原本的逻辑系统的信息？而在不同语境下语形和语义对偶的例子便均对这个问题产生了肯定的答案。

Stone 对偶

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