希尔伯特（一） (6-5)

因而观察过程中发生的事情，就可以用波函数向着它的叠加分量投影并坍缩这种直观的几何形式来描述。

这，就是波函数的基本性质，“线性”和“幺正性”。

这里，我们要引入一点点数学的抽象语言。就像是在第一部分中我们引入相空间的概念一样，这种抽象数学语言虽然在刚刚引入时由于它比较不同于你所熟悉的常规思维方法而显得有些晦涩，但是很快你就会看到它其实有一种独特的魅力，能够把极其复杂的问题变得明晰起来。并且，这些数学语言一旦习惯，你就会感到它其实很简单，并且再也离不开它了。在这里我们想引入的语言，叫做“希尔伯特空间”和线性代数。如果说，可观测量全部居住在我们日常熟悉的三维空间加一维时间这个空间中，那么这个希尔伯特空间，就是量子态的居所。

我们可以从几何中的欧几里得空间 – 也就是我们所熟知的我们周围的三维平直空间 - 说起。说到底从数学上讲，我们周围的三维空间其实不外乎是一种集合：空间中所有点的集合。在这个集合中，除了它包含的每个点的定义以外，我们还需要一些规则来定义这些点之间的相互关系，例如这些规则包括：

空间中的每个元素 – 也就是每个点 – 都有定义。有一种最直观有效的度量方法就是通过三维的笛卡尔坐标系，在笛卡尔坐标系中，我们用三个相互两两垂直的方向（x轴、y轴、z轴）就可以覆盖所有的平面空间。其中的何一个点，都可以用它在这三个坐标轴上的投影来表示，这就是这个点的坐标。空间中的任意一点W，可以用一个从原点出发向其引出的一个“箭头”来表示，这个“箭头”有方向，也有长短，在数学上叫做“矢量”或“向量”。对任意一个点，都有这样唯一的一个矢量，反之任意一个矢量，都对应着这样一个点。因而平面中所有的点都可以用一个矢量来表示。因而这种空间也可以叫做“矢量空间”。

这样一来，表示空间中任意一点的矢量V，则可以看做是沿X轴、Y轴、Z轴三个方向上的单位矢量（即长度为1的矢量）按照他们坐标作为加权的叠加：

ˉV＝xˉeₓ＋yˉey＋zˉeᴢ

我们知道，任何一个矢量都可以看做几个方向上的矢量的叠加。例如，向东北方向的一个速度，可以看做向东的速度和向北的速度两个分量的叠加。总之，在一个平面中，我们只需要两个坐标轴，就能表示所有的矢量。相应地，在三维空间中，我们需要三个方向。一旦这三个方向确定了，整个空间的所有的点就确定了。

因而，我们就可以用三个相互垂直的坐标轴方向上的单位矢量，配合各方向上坐标值的加权叠加，表示出空间中任意一个矢量。我们可以任意选取这样三个坐标轴，而整个三维空间，就是这三个坐标轴撑起来 - “张成”的。同样，我们也可以任意选两个互相垂直的坐标轴，它可以张成一个平面，这个平面就是三维空间的一个子集。

在空间中，除了各个点的定义，还存在着长度的定义。一个矢量的长度可以由勾股定理来计算。同样地，还存在着角度的定义 – 日后你会知道，这种角度是由矢量的内积定义的。

于是，我们可以说我们所熟悉的三维空间，欧氏空间，就是这样一个定义了方向、长度、角度的矢量的集合。

那么现在，我们就可以把我们这个熟悉的、三维空间中的点居住在其间的欧几里得空间推广到一个抽象的、波函数居住在其间的希尔伯特空间[2]。

我们可以来看看欧氏空间中的矢量和波函数之间的异同：

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