希尔伯特（一） (6-4)

这个在数学上毫无出奇之处，甚至可以算作trivial，但是在物理上怎么理解？这恰恰就是我们所说的波函数的概率诠释：一个粒子的波函数是多个确定的位置的叠加态 – 每个确定位置所代表的波函数就是这样一个δ波。而当我们观察粒子时，会使得粒子从它所有这些叠加分量中随机选取一个，从而“坍缩”到这上面去，而我们看到的相应的概率，就正比于该叠加波（δ波）在整个波函数中的叠加权重（它的叠加分量）的平方。

这是一个连续的波函数，在没有学习微积分的你看起来可能会有一些麻烦，我们可以转而举一个离散的例子。在双缝干涉实验中，粒子的某个波函数，我们可以把它写作穿过左缝的波函数与穿过右缝的波函数的叠加：

ψ(x)＝αψʟ(x)＋bψʀ(x)

我们知道，当我们观察这个粒子的时候，我们会看到它“要么在左缝，要么在右缝”。玻恩规则说，看到“左缝”状态的概率就正比于a的平方，而看到“右缝”状态的概率就正比于b的平方：

P(“ ”) ∝α²；P(“ ”) ∝b²

这里我们还有一个限制就是，缝隙后面的粒子要么是穿过左缝过来的，要么是穿过右缝过来的，而没有其它任何的可能性，因而这两个概率相加必须等于1。因而，任何一个有实际物理含义的波函数必须要满足所谓的“归一化条件”：

α²＋b²＝1

这种归一化的性质像极了几何中的勾股定理。如果我们把所有的波函数都定义一个“长度” – 这个波函数所代表的全部概率，那么这个长度必须是1。我们可以把这个长度记做：

|ψ|＝1

这个很好理解，因为一个量子态是确定的，不存在概率性，它的总的概率必须是1。那么我们来看这个总的波函数的两个分量，左缝波和右缝波的分量分别算作三角形的两个直角边，那么叠加的波函数就是它的斜边：

α²＋b²＝1

量子态被观察时得到某个状态的概率取决于该状态与整体波函数的夹角余弦

很自然地，左缝波函数和右缝波函数是互相“垂直”的，它们在对方上的投影都为零，这是因为左缝和右缝是两个非此即彼的不相容状态，它们不可能同时被观察到。也就是说它们之间没有任何重叠（overlap），左缝的量子态永远不可能产生右缝的观察结果。这种垂直又叫做“正交”，它是一种抽象的垂直。而总的波函数ψ和ψL以及ψR都不垂直，它们之间有重叠的部分，角度越小，重叠得就越严重 – 如果角度为零，则完全重合。我们可以看到，两个叠加分量a和b就分别是它们夹角的余弦函数，夹角越小，重叠越严重，那么观察到的概率就越高，相应地观察导致波函数的“坍缩”就越容易得到它的结果。反之，夹角越大，观察得到它的结果就越小，坍缩到它的概率也就越小。这就是玻恩规则的一个很直观的表示。

这样一来，就引出了波函数的第二个性质，就是波函数有“长度”的定义，以及波函数之间有“夹角”的定义。在数学上，前者叫做“模（norm）”，而后者叫做“内积（inner product）”。正如我们前面提到的，波函数无论如何演化，它的全部概率必须保持归一性，也就是说波函数的长度必须永远等于1。这恰恰是薛定谔方程的直接结果，这种性质被称作“幺正性”。

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