希尔伯特（一） (6-3)

更加严格地讲，波函数的演化是线性的。何为“线性”呢？线性可以说是数学中最简单的一种运算规则，这个名字本身就暗示了它类似于一种正比例的关系：正比例函数就是一条直线。从数学形式上线性有着严格的定义，我这里不打算深入讨论。用简单的话说，就是任意波函数的加权相加（数学上叫做线性组合）仍然是一个有效的波函数。也就是说量子系统中可能存在的任意两个（或多个）波函数，它们各自乘以某个常数后加权相加，得到的波函数仍然是这个量子系统的一个可能状态。比如说，对于一个量子系统，有两个波函数

ψ(x)，ф(x)

都是满足它的一个解，也就是说，都是它的一个可能量子态，那么，这样一个由上面两个波函数的任意加权叠加，都是它的可能量子态：

Ψ(x)＝αψ(x)＋bф(x)

其中，a、b为两个任意常数。

总而言之，抛去一切严谨性，你暂时可以把这种线性理解为一种加法规则。波函数的一切变化都满足这种加权加法：如果一个波函数是可能的系统量子态，那么它的随意倍数也都是；如果几个波函数都是可能的系统量子态，那么它们的任意加和也都是。

好了，这个就是量子力学中的一个非常奇怪的原理：态叠加原理（superposition principle）。

现在我们继续来看态叠加原理有什么含义。比如说，我们现在有一个粒子，这个粒子的波函数是这样的：

根据我们前面讲的，根据玻恩规则我们看到这个波函数，就大概知道这个粒子的大致情况。比如说，我们知道，如果我们观察一下这个粒子，我们最有可能在中间的位置发现它，而不大可能在边上发现它。事实上，这个波函数的图像以及这里对玻恩规则的表述并不严格，波函数是一个复函数，而作为一个复数本身并没有大小。我这里无意涉及复数的性质，这可以留到你们高二时学习。在不影响基本原理的情况下，我们可以忽略掉波函数中关于复数的部分[1]。但是你应该知道玻恩规则实际上说的是波函数的模的平方代表了该处粒子出现的概率，在这里我们只谈论它振幅的平方。另外，因为本文的这种模糊处理，事实上后面的表述并非严格的量子理论，如果你以后有幸学习量子力学，你将会发现其中的不同之处。但是在这里我们并不追求严谨，而是要能够向你传达它的一些基本思想。

根据态叠加原理，这个波函数我们可以看做是一组其它的波函数叠加构成的。我们可以任意选择这样的叠加形式。一个比较常见的选择方法就是，我们可以把这个波函数看做是无数个高度不同的“尖峰” 波（称做δ波），叠加在一起组成的，当这些尖峰的“密度”趋向于无穷时，它们的叠加就形成了上述的连续的波动：

无数个“尖峰”叠加而成一个连续的波动

而上述的每一个“尖峰”所代表的，就是一个确定的位置，因为它们只在一个确定的位置有一个概率，而在其它任何地方的取值都是零 - 也就是说不可能出现在那儿。在波动强的地方，这个尖峰的振幅 – “高度” - 就更大，而在波动弱的地方，这个尖峰的振幅就越小。这在数学上非常简单，你只要把这些波乘以一个系数然后加在一起就可以了 - 它们叠加在一起，就是无数个确定的位置的加权相加。如果是无数个波的叠加，只要做个积分就可以了。

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