伽罗瓦理论之美（一） (6-4)

做完这个思维体操我们可以知道，不要小看群、环、域这样一些基本概念，这些概念定义的是一种数学结构，只从基本概念出发，就可以得到很多复杂的结果。譬如直到上世纪80年代，数学家们才真正彻底解决了全部有限单群分类的问题，这是经过了近30年时间、由超过100位数学家在500多种期刊上写下的超过10000页的论文而最终解决的，其基础则是200年前伽罗瓦提出的概念——群。

（3）群和域的同构

群，不是随随便便就能构成的；域，或许更复杂一些。

伽罗瓦发现，有些表象不同的群之间，其实质是完全相同的。这样的群称为是“同构”的，也就是说，这样的群在结构和性质上都完全相同，只有表面符号上存在差别。同构的群在去掉表象之后，可以认为是同一个群。

比如，对某一向量进行旋转的操作构成一个集合A={逆时针转0度，逆时针120度，逆时针240度}，定义这个集合中元素的“乘法”为先进行第一个操作、再进行第二个操作，于是A在此“乘法”下构成一个群；再定义另外一个集合B={1，e²πⁱ/³，e⁴πⁱ/³}，定义其上的“乘法”为普通的复数乘法，则B在乘法下也构成一个群。简单分析即可发现，A和B这两个群结构是完全相同的。

群同构的严格定义是：存在两个群A、B之间的一个双射（即一一对应的映射）ϕ:A→B，满足ϕ(a*b)=ϕ(a)×ϕ(b)，其中a、b∈A，ϕ(a)、ϕ(b)和ϕ(a*b)∈B，*和×分别是群A和B的“乘法”。

类似的，域也有同构的情况。简单说两个域的同构定义为：两个域上的“加法”群同构，并且去除“加法”单位元之后的两个域上的“乘法”群也要同构。

好了，先不再讲述数学概念了，一些不熟悉数学的人可能已经糊涂了。哪怕只看完最基本的概念，我们也会震惊于伽罗瓦的天才头脑。一个16岁才开始接触数学、21岁就因决斗而死去的年轻人，是如何在那短短5年的时间里面，想通如此复杂的数学构造、得到如此美妙的数学结论的呢？

二、巧妙的概念——扩域、根式可解、根式塔‬

【伽罗瓦的故事】

由于伽罗瓦的父亲死于政治事件，再加上伽罗瓦自身的共和主义政治倾向，导致他偏执的认定他的论文丢失事件是由于政治原因而被法国科学院故意制造的。特别是一年以后，伽罗瓦的另外一篇论文被科学院拒稿后，他更认定了这一点。

但是，今天再来分析这件事，可以比较确定的讲，伽罗瓦的这种判断完全是他的一厢情愿。事实上论文丢失很可能就是一个偶然事件（特别是由于傅立叶的去世），而第二次拒稿则是由于伽罗瓦的思维过于跳跃，论文中的论证过于简单，没有详细展开，导致论文评审者无法判定论文是否严密正确。事实上，以伽罗瓦的天才，在他眼里看来很简单、显然成立的论证过程，可能在别人眼里看来是需要复杂证明的。

于是，伽罗瓦开始放松了他的研究工作而主要来从事共和主义事业的斗争。这时的伽罗瓦就读于高等师范学校，他作为闹事者的名气已经超越了作为数学研究者的名声，大家已经不再把他当作是数学研究者了，而更多的把他看成是闹事学生。特别是在1830年的七月革命期间，他公开发表严厉攻击校长的言论，终于被校长基尼约特给开除。从此，伽罗瓦的正式数学生涯到此结束。

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