伽罗瓦理论之美（一） (6-3)

＜1＞ 封闭性：集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内；

＜2＞ 结合律：这个“乘法”满足(a*b)*c=a*(b*c)；

＜3＞ 单位元：集合中存在某个元素e，对于任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a，e被称为单位元；

＜4＞ 逆元：对于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一个元素α⁻¹，使得α * α⁻¹=α⁻¹ * α=e，a与α⁻¹互为逆元。

此时，这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。

我本不愿意罗列概念，但是如果要想感受到伽罗瓦理论之美，就必须弄清楚“群”的概念。就像一个人想要欣赏美妙的音乐，你总要能区分音调高低、节奏快慢一样，如果高音“1”和低音“1”在你听来是一样的，那么很难想象你可以欣赏美妙的交响乐。

“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。容易验证，整数集合在加法运算下成群（这里的加法就通常意义的数字加法，对应着群定义中的“乘法”），其单位元是数字0；但是整数集合在乘法运算下不成群，这是因为对于大部分整数，没有乘法的逆元。

其实群在日常生活中也会存在，常见的是魔方，它的全部操作构成一个集合，再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”，则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群，叫做RUBIC群。

（2）环与域：在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”，如果这个集合在这个“加法”下成群，而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”，则称这个集合与这两种运算构成一个“环”；如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群，则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。显然，“域”是一种特殊的“环”（以上不是环与域的严格定义）。

对不起了，伽罗瓦理论是够抽象的，对于完全没有接触过群论、域论的人来说，这几个概念就挺费琢磨。可是没有办法，伽罗瓦理论这座高峰就需要踩着这些概念的台阶来攀登，你想欣赏最美好的风光，就需要把这些“概念”踩在脚下，“无限风光在险峰”。

如果看懂了这三个概念，特别是看懂了“群”和“域”这两个概念，就会理解这些结构其实就是从基础的数字运算关系中抽象出来的。比如：有理数在加法和乘法运算下构成一个域，0是加法单位元，1是乘法单位元，不包含0的有理数在乘法运算下成群；实数、复数在加法和乘法下都构成域；无理数在加法和乘法下不能构成域，这是因为无理数之和可能是有理数，不满足封闭性。

下面用群和域的概念做一个思维体操，证明有理数是最小的数域（由数字和加法、乘法构成的域）：

step 1 : 数域必有加法单位元0和乘法单位元1；

step 2 : 由加法封闭性得到n个1相加必然还在域内，于是任意自然数n在域内；

step 3 : 再由加法存在逆元得到-n也在域内，这样全部整数必然在域内；

step 4 : 再由乘法存在逆元得到，任意整数n（0除外）的倒数1/n必在域内；

step 5 : 再由乘法成群（去除0后）得到，任意m/n（m和n是整数）也在域内。

这样，就证明了有理数必须在数域之内，而且构成了一个域。因此，有理数是最小数域。

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