伽罗瓦理论之美（一） (6-2)

伽罗瓦理论还可以轻松的解决正n边形的尺规作图问题，证明三等分角、倍立方、化圆为方（这个有赖于π是超越数的证明）的尺规作图不可能问题。今天，伽罗瓦的理论已经发展成叫做“近世代数”（又叫抽象代数）的一个专门数学分支，其应用拓展到了拓扑、微分几何、混沌等前沿数学研究领域以至于物理、化学等众多科学领域，成为了现代科学研究的重要基础工具。1994年英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明著名的“费马大定理”的时候，就主要应用了伽罗瓦理论。

当看到一大批通过繁杂计算很难得到证明的问题，能够被使用精巧的数学结构来简洁而精准证明的时候，你也许开始感受到伽罗瓦理论的优美——但这仅仅是一个开始。从这个“开始”，我们会逐渐感受到伽罗瓦所说的“Jump above calculations, group the operations.”的含义。那么伽罗瓦到底发明了什么数学结构和工具，使得原来复杂的问题变得清晰起来了呢？

一、更高层次的抽象——群、环、域

【伽罗瓦的故事】

有人说“数学也许只存在于数学家的头脑之中”，至少数学是发端于数学家头脑的。1823年，12岁的埃瓦里斯特·伽罗瓦进入了他的第一所学校——路易·勒格兰皇家中学，一所声望很高但相当专制的学校，但是直到16岁，伽罗瓦才被准许读他的第一门数学课程。虽然12～16岁期间的伽罗瓦没有机会研究数学，但是这时期法国社会上和学校中发生的一些事件点燃了他的共和主义倾向，奠定了他日后参与政治的悲剧人生的基础。

原本成绩优秀的伽罗瓦一旦开始学数学，就像变了一个人，变得对其它课程都不重视，而只醉心于数学这一门课程。学校给他的评语是“该生只宜在数学的最高领域中工作，这个孩子完全陷入了对数学的狂热之中。”没有人知道16～18岁中学时期的伽罗瓦头脑中在想些什么，人们只能从表面上看到他所掌握的数学知识足以通过中学的考试要求，但是他对问题的解答往往让考官理解不了。更糟糕的是，他经常把大量的演算放在头脑中进行，使得平庸的考官们更为茫然和沮丧。

现有的材料表明，17岁的伽罗瓦已经开始研究一般的一元五次方程求解的问题了，他曾提交了2篇论文给法国科学院，当时的评审专家是著名数学家柯西。柯西显然被伽罗瓦的论文所震惊，他建议伽罗瓦重新以专题的形式提交这两篇论文，并参加数学大奖的评审。这期间正赶上伽罗瓦的父亲因政治原因而自杀，伽罗瓦在参加完父亲的葬礼后，把改好的专题论文提交给了法国科学院秘书、著名数学家傅立叶。可惜的是，傅立叶在评审前几个星期就去世了，在这个过程中伽罗瓦的论文也丢失了，从而失去了参加评奖的机会。天知道为什么这两篇很可能是那个时代最伟大的论文被丢失了？难道上帝都在嫉妒伽罗瓦么？

【伽罗瓦理论】

在我们已经全面了解并极大发展了伽罗瓦理论的今天，回想1828年伽罗瓦提交的那两篇论文，我们有理由猜测，伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。在伽罗瓦看来，“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构，这是一种更加本质、更加抽象的数学结构，当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候，就形成了新的数学概念——群。

（1）群：给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”（这个“乘法”不是数字运算的乘法，而只是借用了这个名字，因此加上了引号），如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足：

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