伽利略悖论 (3-1)

Galileo's Paradox

正整数的数量同平方数的数量是相同的吗？

首先，一些数字是平方数，比如10以内有1、4、9，它们分别是1、2、3的平方；而另一些是非平方数，比如10以内有2、3、5、6、7、8、10。因此，包括平方数和非平方数在内的所有的正整数的数量一定比平方数的数量大。然而，对应每一个平方数，都有一个正整数是它的平方根；对应每一个正整数，都有一个平方数。因此，两者是一样多的，不可能有任何一类多于另一类。

伽利略·伽利雷（Galileo Galilei）在《关于两门新科学的对话》一书中这样描述这个悖论：

辛普利西奥：这里出现了一个在我看来无法解决的困难。因为很明显，我们可能有一条线比另一条线长，每一条线包含无穷多个点，我们不得不承认，在同一类中，我们可能有大于无穷多的点，因为长线中的无穷多的点大于短线中的无穷多的点。给一个无限大的量赋一个大于无穷大的值，这完全超出了我的理解范围。

萨尔维亚提：这是当我们试图用有限的思维去讨论无限，并赋予无限那些我们赋予有限和有限事物的性质时所遇到的困难之一。但我认为这是错误的，因为我们不能把无限大说成是大于或小于或等于另一个量。为了证明这一点，我心中有一个论点，为了清楚起见，我将以问题的形式向提出这个难题的辛普利西奥提出。

我想当然地认为你知道哪些数字是平方数，哪些不是。

辛普利西奥：我很清楚，平方数是由另一个数与其自身相乘而得到的。因此，4、9等都是平方数，由2、3等与其自身相乘而来。

萨尔维亚提：很好；你们也知道，正如乘积被称为平方数，因子被称为平方根；另一方面，那些不是由两个相等因子组成的数就不是平方数。因此，如果我断言包括平方数和非平方数在内的所有的数字比单独的平方数大，我就说了真话，不是吗？

辛普利西奥：当然。

萨尔维亚提：如果我进一步问有多少个平方数，你可能会回答说，和相应数量的平方根一样多，因为每个平方数都有自己的平方根，每个平方根都有自己的平方数，而没有一个平方数有一个以上的平方根，也没有一个平方根有超过一个的平方数。

辛普利西奥：正是如此。

萨尔维亚蒂：但如果我进一步问有多少平方数，你可能会正确地回答跟相对应的平方根一样多，因为每个数字都是某个平方数的平方根。既然如此，我们就必须说有多少数字就有多少平方数，因为数字和平方根一样多，而所有的数字都是平方根。然而，我们在一开始就说过，数字要比平方数多得多，因为其中较大的部分不是平方数。不仅如此，当我们计算到更大的数时，平方数的比例也会减少。因此，到100，我们有10个平方数，也就是说，平方数占所有数的1/10；直到10000，我们发现只有1/100的部分是平方数；而到一百万的时候只有千分之一；另一方面，在无限的数中，如果有人能想象出这样一种东西，他就不得不承认，有多少平方数就有多少数字。

萨格雷多：在这种情况下，我们必须得出什么结论？

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