伽利略悖论 (3-2)

萨尔维亚蒂：就我看来，我们只能推断所有数字的总和是无限的，它们的平方数是无限的，它们的平方根数也是无限的；平方数既不小于所有数的总和，后者也不大于前者；最后，“相等”“更大”和“更小”这些属性并不适用于无穷大，而只适用于有限的量。因此，当辛普利西奥介绍了几条长短不同的线，问我为什么较长的线所含的点并不比较短的多，我回答他说，一条线所含的点并不比另一条多或少，也不是一样多，而是每条线所含的点是无限的。

破解

这是一个由无穷导致的悖论。

造成悖论的原因是假设无穷大为确定的数字并将两个无穷大比较大小。一个数字既然是无穷大，那就没有比它更大的数字了；另一个数字也是无穷大，也没有比它更大的数字。两者无法比较，两者的比较是与无穷大的这种定义矛盾的。那么，就像在“以子之矛陷子之盾”的故事中得出的结论一样，这两个数字不可能同时存在。

在这一个悖论中全部的讨论都仅限于抽象的数学讨论，并未涉及现实世界，所以对无穷大的存在的假设是没有问题的。伽利略敏锐地指出，无穷大和无穷大之间并不能进行比较，所以相等、更大和更小这些属性不能适用于无穷大和无穷大之间的比较。无穷大与无穷大比较大小是没有意义的。无穷大的这种定义决定了不存在一个比它更大的数字，也不存在跟它一样大的数字，甚至也不存在比它小一定量的数字。假如存在这样的数字，那它就不是无穷大了。所以，假如有两个无穷大的数字，而其中一个比另一个更大或者两个一样大，那么它们不可能同时都是无穷大的。所以，假如将无穷大定义为一个没有比它更大的数字的数字，伽利略的这种论述是完全正确的和独到的。伽利略的解释可能已经是这种无穷大定义下最好的解释了。

然而，与其将无穷大当作数字，又赋予它很多与一般数字不同的性质，并且不时遭遇悖论，不如否认无穷大是数字，相反地将无穷大定义为一种数字的性质。我们可以定义：

无穷大是指未知数字的一种性质，即大于任何一个给定的数字的性质。无穷大是一类而非一个数字。

这样，我们说正整数有无穷多个时，不是表示正整数的数量是一个特定的极其大的数字以至于没有其他任何数字能够超过它，而是表示正整数的数量是一个未知数，但这个数是无穷大的，或者说具有无穷大的性质，或者说具有大于任何一个给定的数字的性质。

在我们如此定义无穷大后，让我们再来讨论伽利略悖论。正整数的数量是无穷大的，平方数的数量也是无穷大的。正整数的数量减去平方数的数量后的差大于零。（这个差就是全部非平方数的数量，它也是无穷大的，但为了比较大小的目的，我们不关心它是不是无穷大的，而只关心它是不是大于零。）前者减去后者的差是大于零的，就表示前者大于后者。所以，正整数的数量大于平方数的数量。

那么，比较数量的大小是否一定要逐个一一对应呢？恐怕不需要。比如，我们要比较这两个数字的大小：

890898955345330890890435，890849843498535389983435。

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