伽罗瓦理论之美（三）

四、美妙结论——正规子群、可解群、正规扩域

继续深入写下去所涉及到的数学知识、逻辑复杂度都大大的提升了。考虑到这篇文章的目的是寄希望于数学爱好者之外的人也能尽量理解，就不再深入描述后面的理论了。我承诺大家，从现在开始，不再使用任何数学符号了。

前面说了，E 是每个Fᵢ 的正规扩域，但是相邻 Fᵢ 之间却不一定是正规扩域。要知道，纯扩域必然是正规扩域，域列想成为根式塔，或者说相邻域都是纯扩域，就必然要求相邻 Fᵢ 之间都是正规扩域。伽罗瓦证明了，相邻 Fᵢ 之间都是正规扩域等价于对应的相邻伽罗瓦群是正规子群。

正规子群意味着商集合成群，或者说相邻伽罗瓦群的商群存在，如果这个商群是可换群（群内的“乘法”满足交换律），那么这样的伽罗瓦群被称为可解群。

通过进一步复杂的证明可以得到，域 F 上的方程f(x) 的根域为 E，如果伽罗瓦群 G(E/F) 是可解群，那么 f(x) 可根式求解；如果 f(x) 可根式求解，则伽罗瓦群 G(E/F) 必为可解群。即方程的根式可解等价于方程的伽罗瓦群为可解群！

从此，困扰了人们数百年之久的多项式方程根式可解问题被伽罗瓦漂亮而彻底的解决了，以他名字命名的伽罗瓦理论从此诞生。在解决这个问题的过程中，群论、域论交相辉映，迂回曲折，难怪当时的那些审评大师们如堕五里雾中。“就伽罗瓦的概念和思想的独创性和深刻性而言，任何人都是不能与之相比的。”法国数学家毕卡（C..Picard, 1856-1941）在1879年评述19世纪数学成就时如是说。

再回想本文开篇引用的伽罗瓦自己所写的话“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their complexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in this work.”，相信每个了解了伽罗瓦理论的人都会有更深刻的认识。

总结一下伽罗瓦的思想，一是在更高的层次上看待数和计算，形成了群、域的概念；二是通过域和扩域的方法给出了方程根式可解的更准确的数学定义；三是发现了域的某类自同构映射对应着方程根的置换，找到了方程根式可解的奥秘；四是找到了伽罗瓦对应这把打开奥秘大门的钥匙，把域列和群列优美的对应了起来；五是基于深刻的逻辑推导形成了可解群的概念，并证明了根式可解与伽罗瓦群是可解群的等价关系。

伽罗瓦理论是一个非常“好”的数学成果，它不是仅仅解决了多项式方程根式求解的问题，它还是一个非常有价值的数学工具，伽罗瓦理论的思想开创了代数学从研究“计算”到研究“结构”的先河，打开了现代代数学研究的大门。遗憾的是，200年后的今天，在网上查找抽象代数的相关知识时，中文的内容还是非常少。很多国人对数学的观念还停留在速算、数独、找规律甚至是脑筋急转弯的层面。这种状况可能还比不上200年前的法国。

真心希望国人能够对数学之美有着更准确的认识和欣赏能力，起码能理解200年前数学研究前沿达到的高度吧。

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